Citat:
Tydligen är √(2b/π)*{-∞ till ∞}∫exp(-bx²) d²/dx²(exp(-bx²))dx = b. Hur fan kommer jag fram till det? Om jag börjar med att utveckla:
d/dx(exp(-bx²)) = -2b[x*(exp(-bx²))]Insättning i integralen:
d²/dx²(exp(-bx²)) = -2b * exp(-bx²) (1-2bx)
√(2b/π)*(-2b){-∞ till ∞}∫exp(-bx²) exp(-bx²) (1-2bx) dx =Nu hjälper inte partialintegration? Primitiven till 1/2x är ln(2x) och det kommer jag ingen vart med, inte heller exp-funktionen. Hjälp?
= √(2b/π)*(-2b){-∞ till ∞}∫exp(-2bx²) (1-2bx) dx =
= {partialintegrera} =
= √(2b/π)*(-2b){ [exp(-2bx²)/4bx*(1-2bx)] - {-∞ till ∞}∫exp(-2bx²)*2b/4bx dx }=
[...]-termen blir noll i +-∞. Låt även C=√(2b/π)*(-2b):
=-C {-∞ till ∞}∫exp(-2bx²)(1/2x) dx
En sak man kan notera är att den formen av integralen som jag har markerat med fetstil utgörs av två delar:
- En del som i princip är integralen av normalfördelningens täthetsfunktion (den delen som utgörs av 1*exp(-2bx²))
- En del som är en konstant gånger väntevärdet för en normalfördelad variabel (den delen som utgörs av -2bx*exp(-2bx²))
Om du nöjer dig med det så bör du ganska enkelt kunna härleda fram värdet på integralen du börjar med. Den första delen blir ju en konstant gånger 1 som vanligt när man integrerar en täthetsfunktion över [-∞, ∞], och den andra delen torde bli noll eftersom exponentialfunktionen i fråga matchar täthetsfunktionen för en normalfördelad variabel med väntevärde 0 (en mer generell metod att se det utan att dra in sannolikhetsteori är att x gånger den aktuella exponentialfunktionen blir en udda funktion).
