*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Delbarhet

visa att ekvationen 5x^2+2y^2=17684 saknar heltalslösningar

Bestäm a så att f(2a) = 1 - f(a) då f(x) = (x^2)/10. Svaret enligt facit är a=±√2. Kan någon förklara detta? Hur kommer man fram till detta svar?

f(a) = x^2/10 ger f(2a) = (2a)^2/10 = 4a^2/10 = 2a^2/5 alltså ska vi lösa:

2a^2/5 = 1 - a^2/10
2a^2/5+a^2/10 = 1
4a^2/10+a^2/10=1
5a^2/10=1
a^2/2=1
a^2=2.

5x^2 = 17684 - 2y^2. Eftersom 5 | VL måste 5 | HL. Det gäller att 17684 == 4 (mod5). Alla heltal måste vara av någon av följande form: 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3 eller 5k+4. Detta betyder att ett heltal i kvadrat, säg y^2, kan ge resten 0, 1, eller 4 vid division med 5. Då gäller det at 2y^2 ger resten 0, 2 eller 3 vid division med 5. Detta betyder att 17684 - 2y^2 kan ge resten 4-0 = 4, 4-2 = 2 eller 4-3 = 1 vid division med 5 och det finns alltså inga heltalslösningar.

Jag skulle tro att man kan hitta ett bevis för detta genom att testa dessa fyra möjligheter:

1. x är jämnt (x = 2k) samt y är jämnt (y = 2m)
2. x är jämnt samt y är udda (y = 2m + 1)
3. x är udda (x = 2k + 1) samt y är jämnt
4. x är udda samt y är udda

där k och m skall vara heltal. Det första alternativet ger

5*4*k² + 2*4*m² = 17684 ⇔ 5*k² + 2*m² = 4421

Här kan man begränsa sig till ett litet antal möjligheter eftersom 5*k² kommer att ha slutsiffra 0 eller 5 medan 2*m² kommer att ha slutsiffra 0, 2, 4, 6 eller 8. Den enda kombination som kan ge 1 som slutsiffra är om 5*k² har slutsiffra 5 medan 2*m² har slutsiffra 6.

Detta kan bara uppnås om k² har slutsiffra 1, 3, 5, 7 eller 9 samt m² har slutsiffra 3. Det finns dock inga heltal vars kvadrat har slutsiffra 3, så m² kan inte ha 3 som slutsiffra och således saknar ekvationen heltalslösningar för jämna x och y.

De andra tre möjligheterna bör kunna gås igenom på ett liknande sätt och förhoppningsvis blir det inte allt för besvärligt.

Eventuellt finns det något enklare sätt att visa det uppgiften efterfrågar, men inte något som jag omedelbart kommer på.

Godmorgon! eller ah, "eftermiddag" :P


Jag skulle behöva hjälp med det här talet:

Bestäm koefficienterna framför x och x3 när (x^2+4x+6)(x^3−3x+2/x) utvecklas.


Alltså sista variabeln i sista parantesen är 2/x det kan väl skrivas som 2x^-1?


Men när jag multiplicerar in allt så blir det fel, tror det är när jag multiplicerar 2x^-1 med en annan variabel de strular eller jag känner mig osäker.


Alltså blir t.ex. x^2 * x^-1 = x^2+(-1) = x^1 ? :s


Tacksam för hjälp

y = 10^x


x = lg y (x är logaritmen av y, det tal som man måste upphöja 10 till för att få y)


Kan nu skrivas som;

y = 10^lgy

Jag förstår att exempelvis det här gäller;

10^lg12 = 12

Men inte på djupet, varför blir det så utöver definitionen ovan?

Man har helt enkelt bestämt att lg x är inversen till 10^x. Det är en definition, att man kan definera en logaritmfunktion är kanske inte lika självklart. Men det är inte konstigare än att sqrt(3)^2 = 3. Vi har helt enkelt bestämt att sqrt(x) ska ha den egenskapen, och likadant för lg x.

Det finns alltså inte »mer till det»?

Jag lade till hakparenteser på den fetmarkerade raden för att förtydliga vad det är du gör. Ja, detta samband stämmer.

För att lösa uppgiften kan du antingen multiplicera ihop alla termer, vilket kommer att ge totalt 9 termer, och sedan identifiera vilka koefficienter du får för x samt x³, eller så kan du se vilka produkter av termer från det första parentesuttrycket med termer från det andra parentesuttrycket som ger resultat innehållande x samt x³. Det bör inte ta så mycket längre tid att göra på det första sättet, men det andra sättet är naturligtvis snabbare.

Tydligen är √(2b/π)*{-∞ till ∞}∫exp(-bx²) d²/dx²(exp(-bx²))dx = b. Hur fan kommer jag fram till det? Om jag börjar med att utveckla:

d/dx(exp(-bx²)) = -2b[x*(exp(-bx²))]
d²/dx²(exp(-bx²)) = -2b * exp(-bx²) (1-2bx)

Insättning i integralen:

√(2b/π)*(-2b){-∞ till ∞}∫exp(-bx²) exp(-bx²) (1-2bx) dx =
= √(2b/π)*(-2b){-∞ till ∞}∫exp(-2bx²) (1-2bx) dx =
= {partialintegrera} =
= √(2b/π)*(-2b){ [exp(-2bx²)/4bx*(1-2bx)] - {-∞ till ∞}∫exp(-2bx²)*2b/4bx dx }=
[...]-termen blir noll i +-∞. Låt även C=√(2b/π)*(-2b):
=-C {-∞ till ∞}∫exp(-2bx²)(1/2x) dx

Nu hjälper inte partialintegration? Primitiven till 1/2x är ln(2x) och det kommer jag ingen vart med, inte heller exp-funktionen. Hjälp?

Det beror ju på vad man menar med mer till det. En invers funktion, som log är är något som gör det funktionen gör ogjort. Jämför med att ha till exempel en vägbeskrivning som säger hur du tar dig från A till B, då är inversen att ta sig från B till A. Finns det mer med det? Ja, naturligtvis. Det kanske går att ta sig från A till B men inte från B till A, det vill säga det kanske inte finns en invers. På motsvarande vis gäller för funktioner. Det kan vara möjligt att man har en entydlig väg A -> B men inte B -> A.