*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

(x-2)(x-1) = 12

x²-x-2x+2=12

x²-3x-10=0

x=3/2±√((9/4) +10)

x= 3/2±√((9/4) +40/4)

x= 3/2±√(49/4)

x=3/2±7/2

Eftersom (-2)*(-1) = 2..Tack!

f(x) = x+a
~~~~~~~

f^2(x) = f(f(x)) = f(x+a) ; ersätt x med (x+a)
= (x+a)+a = x+2a.

f^3(x) = f(f^2(x)) = f(x+2a) = (x+2a)+a = x+3a,
etc.

Säg att man utgår från:

lim ε→0 (f(x+εa) - f(x))/ε = a · ∇f
där x=(x,y,z) och a=(a_x,a_y,a_z)

Vad skulle hända om man istället för ε införde en felvektor δ=(ε³,ε,ε) s.a. x-komponenten går snabbare mot noll än de andra komponenterna? En viktad gradient mot x?

lim ε→0 (f(x+δa) - f(x))/ε

Det är viktigt att tänka på att a skall vara en enhetsvektor i differenskvoten

lim ε→0 (f(x+εa) - f(x))/ε = a · ∇f

Vidare ser man att kvantiteten

δa

som inkrement i den "viktade gradienten" inte är riktigt väldefinierat, eftersom både δ=(ε³,ε,ε) och a=(a_x,a_y,a_z) är vektorer. Tanken bakom produkten

εa

är att, som du förstår, att parametrisera den riktning där a pekar mot. I det tvådimensionella (enklare att rita) fallet med inkrementet εa, där a är en enhetsvektor i någon riktning ser situationen ut såhär om man väljer x = 0 för översiktlighetens skull.

Låt nu a(ε), istället för δa, vara en vektor s.a.

a(ε) → 0, ε → 0

Eftersom a(ε) är en vektor av en variabel, blir det en kurva i planet om a(ε) är exempelvis tvådimensionell. Om man nu betraktar följande differenskvot

lim ε→0 (f(x+a(ε)) - f(x))/|a(ε)|

borde denna kvantitet ge den momentana förändringstakten hos f, givet att man väljer kurvan om ges av a(ε) som väg. Exempelvis kan man välja

a(ε) = (ε, ε²)

vilket skulle ge upphov till en situation som ser ut såhär. Som du kanske nu märker har vi i själva verket angripit problemet med en sammansatt funktions derivata, fast lokalt. Om man har ett variabelbyte för en tvådimensionell funktion f(x,y)

x = x(t)
y = y(t)

blir denna kurva analog med kurvan som ges av a(ε), förändringen i funktionen sker längs denna kurva. Om man benämner kurvan som ges av detta variabelbyte som g = (x(t),y(t)) ges derivatan av f(x(t),y(t)) m.a.p. t som bekant av det bekväma uttrycket

∇f · g'(t)

Observera att om man använder beteckningarna g(t) = a(t) = ta och därmed låter a vara en konstant enhetsvektor reduceras uttrycket ovan till

∇f · a

EDIT: Råkade feta ε och t som ju inte är vektorer.

laser kan användas vid precisionsmätningar. Avståndet till månen kan mätas med en felmarginal på bara ett par centimeter. Mätapparaturen mäter hur lång tid det tar för ljuset att färdas till månen fram och tillbaka. Noggrannheten ges av hur exakt tidmätning är. Med vilken noggrannhet måste tiden mätas för att sträckan (fram och tillbaks) ska kunna mätas med 4 cm felmarginal?

Ljusets hastighet: 2,9979*10^8

Kan någon förklara detta?

Behöver hjälp med:
Sture har ett enmansföretag som köper in färdiga trädetaljer i furu. Han tillverkar enbart två produkter, pallar och byråer. Stures arbetsuppgifter består av att montera och lacka dessa, vilket han inte kan göra samtidigt. Följande data gäller för hans produktion:
En pall tar 0,25 timmar att montera och 0,4 timmar att lacka och ger en vinst på 150 kr per pall.
En byrå tar 0,5 timmar att montera, 1 timme att lacka och ger envinst på 320 kr.
Han har 15 timmar tillgängliga per vecka att montera och 25 timmar för att lacka.

Bestäm den maximala vinsten som Stures företag kan göra under en arbetsvecka.

Har ställt upp:
m = 150x + 320y
0,25x + 0,5y = 15


0,4x + 1y = 25

... men vet inte hur jag ska fortsätta!

Antag att s₀ är den exakta sträckan till månen och t₀ är den exakta tiden som det tar för ljuset att färdas sträckan. Då gäller

s₀ = ct₀

Antag vidare att Δt är felet i tidsmätningen som ger upphov till ett fel Δs i mätningen av sträckan. Eftersom man mäter t₀ + Δt blir ekvationen

s₀ + Δs = c(t₀ + Δt) ⇔ [s₀ - ct₀] + Δs = cΔt

Uttrycket inom hakparenteserna är noll eftersom t₀ precis var tiden för ljuset att färdas sträckan s₀. Då erhålls ekvationen

Δs = cΔt

Sätt Δs = 4 cm, konvertera till meter (eftersom c anges i m/s) och lös ut Δt.

Vad blir kommutorn [p^2,x]

om man använder sig ut av en testfunktion.

tex [p^2,x]f =

om px = -ih(h-bar)*(d/dx) dvs

och px^2 = (h-bar)^2*(d^2/(dx^2))

Operatorerna i lägesbeskrivningen är

p² = -iћ∂²
x = x

Kommutatorn på en testfunktion ψ blir

[p²,x]ψ = p²xψ - xp²ψ = (-iћ)²(∂²(xψ) - x∂²ψ) = (-iћ)²(2ψ' + xψ'' - xψ'') = (-iћ)²(2ψ') = -2(iћ)(-iћ)∂ψ = -2iћpψ ⇔ [p²,x] = -2iћp

Man kan också härleda relationen genom att använda kommutatoralgebra (identitet 5 på Wikipedia under ringteori) och kanoniska kommutatorn.

Sånt här är skoj. (Antar att du med px menar samma som p i frågan? Håller mig till p.)

Använder att [p,x] = p x - x p = -i ħ (när alla led verkar på en funktion...). Tekniken är att kommutera båda p-faktorerna i den första termen p²x förbi x, ett p i taget, tills man kan kancellera x p² mot x p². Med "kommutera förbi" menar jag operationer av typen
F G = G F + [F,G]

[p², x] = p²x - x p² = p x p + p [p,x] - x p² = x p² + [p,x] p + p [p,x] - x p² = -2 i ħ p

----

Ser att Eldoradokaffe redan har svarat med hur man gör med operatorer formulerade i lägesbeskrivningen, så jag tar bort den delen av mitt svar.

Stort tack för den utförliga beskrivningen! Snurrar lite i huvudet, men om jag ska försöka att tolka det du gjort. Med din parametrisering skulle gradienten viktas:

Mot y när ε<1(ty ε²<ε)
Oviktad när ε=1 (ty ε=ε²)
Mot x när ε>1 (ty ε<ε²)?

Men eftersom ε→0 så viktas förändringen i f mot y (längs den parametriserade kurvan som du ritat). Korrekt?