*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

2x² + 24x - 266 = 0
x² + 12x - 133 = 0

med pq-formeln:
x = -(12/2) ±√((12/2)^2 - (-133))
= -6 ±√(169)
= -6 ± 13

x_1 = 7
x_2 = -19

-----------------------------------------------
Ett annat sätt som kan vara roligt att lära sig är som följer:
Antag att polynomet har rötterna x_1 och x_2. Det kan då skrivas
P(x) = (x-x_1)·(x-x_2) = x² - (x_1+x_2)x + x_1·x_2
Vanligtvis skriver vi dock polynomet som
P(x) = x² + px + q

Men med ovanstående kan vi ju identifiera att
p = - (x_1+x_2)
q = x_1·x_2

Detta system blir ganska lätt att lösa (du vet ju redan p och q) om x_1 och x_2 är heltal (vilket oftast är fallet i gymnasieuppgifter). Så om du ser en fin andragradsekvation, med heltalskoefficienter, så kan du börja med att anta att den har heltalsrötter. Då ska du alltså leta efter heltal x_1 och x_2 sådana att
q = x_1·x_2

Tecknet på q anger om rötterna har samma eller olika tecken! Använd sedan de olika heltalskombinationer du kan tänka dig för att se om någon matchar
p = - (x_1+x_2)

Personligen kan jag lösa de flesta andragradare i huvudet på några sekunder, givet att q inte är för stort och att lösningarna faktiskt är heltal! (Övning ger färdighet)

Testa till exempel med din ekvation
x² + 12x - 133 = 0

I detta fallet är dock q jobbigt stor. Men om du primtalsfaktoriserar 133 får du 19 och 7. Eftersom q är negativ måste rötterna ha olika tecken. Alltså ska du leta efter differensen mellan dessa två tal (19-7 eller 7-19). Du ser att 19-7=12. I och med att du måste ha ett teckenbyte enligt
p = - (x_1+x_2)
är således rötterna -19 och 7.

Om du kollar i en tabell för trigonometriska standardvärden så finner du att 1/√(2) svarar mot 45 grader för cosinus.

Du har att cos 3x = 1/√(2) alltså måste 3x = 45. Men om du kollar på enhetscirkeln så ser du att även -45 grader ger samma cos-värde. Och om du skulle addera ett helt varv till 45 eller -45 grader så får du även då samma cos-värde. Sammanfattning:

3x = +-45 + n*360, där n är ett heltal.

x = +-15 +n*120 (SVAR)

Går det räkna ut att det blir 45 grader eller måste man ta det ur tabell?

Har en uppgift som jag delvis fastnat på och ledning skulle uppskattas.

1. Skriv talet som produkt av primtal: 47502 Svaret blir: 2*3^2*7*13*29

Min fråga är om det finns något smidigare sätt att finna respektive primtal som talet består av. Jag ser direkt att talet är delbart med 2 samt kan ganska enkelt se att det två gånger därefter blir delbart med 3. Dock senare tycker jag det blir väldigt klumpigt... ska jag pröva att dividera med olika primtal eller kan man på annat sätt lätt se vilka primtal som talet består av?

Uppgiften är tagen ur en kurstext i Chalmers sommarskola.

Tack på förhand.

Att primtalsfaktorisera ett tal är ett ganska jobbigt problem. Det är så jobbigt att man utnyttjar det inom kryptografi.
https://en.wikipedia.org/?title=Integer_factorization

Men för att göra det lite enklare för dig så kan det vara bra att lära sig några snabba sätt att, för en människa, att testa delbarhet med i alla fall de minsta primtalen.
https://en.wikipedia.org/wiki/Divisibility_rule

Annars känner jag inte direkt till någon genväg...

Jag har;

(x-2)(x-1) = 12

(x-2)(x-1) = x² - x - 2x -2

Vi har att;

x² - x - 2x - 2 = 12

x² - x - 2x -14 = 0

x² - 2x - 14 = 0

Jag får fel när jag kör PQ.

Jag har markerat felet med fetstil ovan. Det skall alltså vara - 3x på sista raden.

Skrev det först, men ändrade. Tack!

Får;

x² - 3x - 14 = 0 men blir fortfarande fel med PQ.

Jag har;

(x-2)(x-1) = 12

(x-2)(x-1) = x² - x - 2x -2

Vi har att;

x² - x - 2x - 2 = 12

x² - x - 2x -14 = 0

x² - 2x - 14 = 0

Jag får fel när jag kör PQ.

Får;

x² - 3x - 14 = 0 men blir fortfarande fel med PQ.