*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Alright då är jag med. Men på dessa uppgifter tidigare har man skrivit att summan är mindre än någon annan summa som man direkt kan se är konvergent eller divergent. Ska man inte göra samma sak här? För om man vet att en summa är divergent eller konvergent och större än en annan summa blir den andra också divergent eller konvergent.

Okej men är inte med på vart 1/(1-x) kommer ifrån. Lust att förklara det?

Jo, du skulle ju helt enkelt kunna konstatera att summan med start i x^2 är mindre än summan med start i x^0 = 1 och säga att eftersom summan med start i x^0 = 1 konvergerar då |x| < 1 så gäller detsamma för summan med start i x^2.

∑x^k, k från 0 till ∞ ,definieras som gränsvärdet av talföljden S_n = ∑x^k, k från 0 till n, då n → ∞. Vi hittar ett uttryck för S_n och går i gräns:

S_n = 1 + x + x^2 + ... + x^n => x * S_n = x + x^2 + ... + x^(n+1)

S_n - x * S_n = (1 + x + x^2 +...+x^n) - (x + x^2 + .... + x^(n+1)) = 1 - x^(n + 1) så
(1 - x)S_n = 1 - x^(n + 1) dvs
S_n = (1 - x^(n+1))/(1 - x).

Om |x| < 1 så har vi att x^n → 0 då n → ∞. Alltså har vi att S_n → (1 - 0)/(1 - x) = 1/(1 - x) då n → ∞.

Aha okej men vad är istället för x^2 här? Är lite förvirrad just nu :P

Jag är inte helt säker på att jag förstår vad du frågar.

Om man börjar summan med x^0 = 1 så är ju summan

S0 = 1 + x + x^2 + x^3 + ...

Om man börjar summan med x^2 så är summan

S2 = x^2 + x^3 + ...

Eftersom båda summorna är oändliga när n→∞ så ingår alla termer i den senare summan i den tidigare också, så differensen blir

S0 - S2 = 1 + x, vilket är >0 i detta fall eftersom x = 3/4 enligt ditt första inlägg om den här uppgiften.

Således är S0 > S2, men eftersom vi vet om att S0 konvergerar så kommer alltså även S2 att konvergera eftersom S2 också är större än 0 samtidigt som den är mindre än S0.

Okej tror jag är med nu. Så varje gång man har en summa där man har x^n av något slag, asså potenser, så kan man göra såhär eller?

Ja, om |x| < 1 så fungerar det alltid att göra så.

Linjen är parallell med planet, så det går i princip att utgå från vilken punkt som helst på linjen när man räknar avstånd till planet (det kortaste avståndet från varje punkt på linjen till planet kommer ju att vara detsamma överallt, eftersom de är parallella).

Formeln för avståndet mellan en punkt och ett plan finns exempelvis här. Man har helt enkelt använt punkten (x0,y0,z0) = (1,0,1) och stoppat in i den formeln.

Vill du ha en härledning av formeln så finns det med all sannolikhet i din kurslitteratur eller kanske i föreläsarens anteckningar.



Här verkar det saknas något om tanken är att man skall bestämma ekvationen för ett plan. Att (1,1,1) + t(2,2,2) går genom (3,3,3) är ju uppenbart och ger ingen ytterligare information. Det finns alltså inte två vektorer att beräkna kryssprodukt med, man har ju bara riktningsvektorn (2,2,2) (som är ekvivalent med (1,1,1)).

En annan tolkning skulle kunna vara att man skall skriva linjens ekvation på en annan form, och då är det x = y = z som gäller. Linjen går ju genom (1,1,1) och har riktningsvektorn (1,1,1), så den går därför även genom (0,0,0), (2,2,2), (3,3,3) och så vidare.