*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

kan någon förklara varför derivatan av e^x är samma funktion ?
om jag ändrar en liiiiiiten smula

e=2.71828.....
vad är derivatan av lim x ->oändligheten f(x)=(e-(1*10^-x)) ?

Enklast är att som i den här Wikipediaartikeln utgå från potensserien för e^x. Då syns enkelt att förstaderivatan är lika med funktionsvärdet i varje punkt x.

Den här artikeln visar ekvivalensen mellan definitionen e^x = lim[n→∞]{(1+x/n)^n} och potensserierepresentationen.

Just funktionen f(x) = a^x, a > 0 har en speciell egenskap. Det är nämligen så att f(x)f(y) = f(x + y), alltså a^x * a^y = a^(x + y). Säg att vi har en funktion g(x) som uppfyller den här egenskapen, dvs g(x)g(y) = g(x + y) och vi deriverar den.

g'(x) = lim{h->0} (g(x + h) - g(x))/h = lim{h->0} (g(x)g(h) - g(x))/h = lim{h->0} g(x) (g(h) - 1)/h = g(x) lim{h -> 0} (g(h) - 1)/h

Nu ser vi att om en funktion har denna egenskap som exponentialfunktioner har så är det bara derivatan vid x = 0 som har någon egentligen betydelse för funktionens derivata över hela R.

Så man kan nu börja fokusera på vad a^x har för derivata vid x = 0. Tar man och tittar på tangenten vid x = 0 för olika värden på a så ser det väl ungefär ut så här: https://imgur.com/1gvtzts. Som man ser så för a = 1 så är lutningen på tangenten 0, sedan när a växer så växer också lutningen på tangenten. Det är därför rimligt att anta att det för något a faktiskt är så att tangentens lutning är just 1 i x = 0. Så vi antar att det existerar ett sådant värde för a och kallar det för e. Detta ger alltså att just lim{h->0} (e^h - 1)/h = 1 enligt antagandet för e.
Detta är självfallet inget strikt matematiskt resonemang, utan mer en bild över varför det är rimligt att det finns en funktion så att den är sin egen derivata och varför det just är e^x som är denna funktion.

Skulle behöva lite hjälp med att beräkna (2ln(cosx) + x^2)/x^4 då x-> 0. Omm jag sätter in det jag har får jag: (2*(-x^2/2 + O(x^4) - (x^4/4 + O(x^6)) + O(-x^2/2 + O(x^4))^3) + x^2)/x^4. Men då får jag ju -1/4 från det där men i facit står det -1/6. Någon som har en aning vad jag kan ha gjort för fel?

cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 + O(x^6)

ln(cos(x)) = -x^2/2 + x^4/24 - ( - x^2/2 + x^4/24 + O(x^6) )^2/2 + O(x^6)
= -x^2/2 + x^4/24 - x^4/8 + O(x^6) = -x^2/2 - x^4/12 + O(x^6)

2 ln(cos(x))+ x^2 = 2 (-x^2/2 - x^4/12 + O(x^6)) + x^2 = -x^4/6 + O(x^6)

(2 ln(cos(x))+ x^2) / x^4 = -1/6 + O(x^2) -> -1/6 då x -> 0

vet inte riktigt var felet ligger, men har du använt dig av maclauren utveckling
f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+....+f(n)(0)x^(n)/n!+f(n+1)(0)x^(n+1)/(n+1)!

cos(x) =1-x^2/2+x^4/24+0x^6

Series[x^2 + 2 Log[Cos[x]], {x, 0, 5}] =-x^4/6+0x^6(om man har tillgång till dator behöver man inte köra allt förhand) eftersom du har x^4 i nämnare blir det bara kvar den första termen -1/6

troligtvis ligger felet att du tagit 2!=4 och inte 3!=6 i nämnaren

Okej tack för svar! Men har två frågor.

1. Hur vet du att man ska ta med x^4/24 termen? För jag gjorde inte det men fick ändå x^4 i täljare och nämnare som jag kunde bryta ut.
2. Hur fick du (-x^2/2 - x^4/12 + O(x^6)) från (-x^2/2 + x^4/24 + O(x^6) -(-x^2/2 + x^4/24 + O(x^6))^2/2 + O(x^6)?

Skulle behöva lite hjälp med denna uppgift om integraler!

Givet är att ∫ 1 till 5 f(x)dx=6.
Bestäm ∫1 till 5 (f(x)+5)dx.

Använd följande:

∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.

Vet inte hur jag ska använda mig av den formeln med den infon jag har?
6+∫g(x)

mycket intressant , man tackar och bockar.

Hm tror jag fick till det, om jag ska göra den primitiva funktionen av g(x)=5 så är det ju G(X)=5x
∫g(x)dx 1 till 5 = (5*5)-(5*1)=20
+ ∫f(x)dx= 26