*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Diskret matematik,

antar du har ett fat med potatisbullar, 7st

lägg upp 6st så det bildas en cirkel med en i mitten, totalt 7st

på hur många sätt kan man lägga upp potaisbullarna?

x=(Pi-Arcsin(7/4)+n2pi) där n är ett heltal

Antalet lösningar till ekvationen cos^2 x = cos 2x för 0 ≤ x ≤ 2

7 icke identiska föremål skall läggas på 7 icke identiska platser.

Lösningen blir 7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5040

Förklaring: På "den första" platsen kan du välja att lägga vilken som helst av de 7 bullarna, på "den andra" platsen kan du välja att lägga vilken som helst av de återstående 6, dvs totalt 7*6 kombinationsmöjligheter. Fortsätt på samma sätt tills alla 7 är utplacerade så ser du förhoppningsvis att det blir som jag skrivit ovan.

Börja med att substituera cos (2x) = cos^2 (x) - sin^2 (x) enligt dubbla vinkel-formeln, vilket i sin tur via trigonometriska ettan ger cos (2x) = 2cos^2 (x) - 1.

Du skall alltså hitta x så att cos^2 (x) = 2cos^2 (x) - 1 ⇔ cos^2 (x) = 1

Detta ger cos (x) = ±1, vilket generellt har lösningarna x = 0 + n*2pi och x = pi + n*2pi, n heltal, men inom 0 ≤ x ≤ 2 finns alltså bara x = 0, eftersom pi > 2. Detsamma gäller om intervallet egentligen skall vara grader snarare än radianer, eftersom pi radianer motsvarar 180 grader vilket också är större än 2.

Kom också fram till cos x = ±1. Men enligt svaret så var alt. d rätt av följande: (a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) annat svar. Vad är det jag inte förstår?

Har ytterliggare en som jag inte klarar lösa:

Talet |2√2 − 3| + |3 − √5| är lika med (a) 2√2−√5; (b) 2√2+√5; (c) 6−2√2−√5; (d) annat svar.

Skulle behöva lite hjälp med den här uppgiften: Området D = { (x,y) : x^2+y^2 <= 1, x+y >=1} roteras ett varv kring linjen x+y=1. Beräkna volymen av rotationskroppen. Då ska man köra pappos-guldos och använda volym=area*TPs väg. Arean är (sqrt(1-x^2)-(1-x))dx. Sen har jag fått fram att sinv=1/sqrt(2) eftersom man fick göra det luriga och komma på att tanv=-1. Men vad gör jag sen för att få ut TPs väg? Tycker den är lite svår att beräkna så vore bra om någon kan förklara hur man ska tänka.

Det enda jag kan komma på så här på rak arm är om det egentligen skulle ha varit 0 ≤ x ≤ 2pi, då blir det ju tre lösningar (x = 0, x = pi, x = 2pi).

På den nya uppgiften så kan man konstatera att eftersom 2√2 < 3 (2√2 ≈ 2,8) och 3 > √5 (√5 ≈ 2,2) så blir, enligt definitionen av absolutbelopp

|2√2 − 3| = -(2√2 − 3) = 3 − 2√2
|3 − √5| = 3 − √5

Hela uttrycket blir därför 3 − 2√2 + 3 − √5 = 6 − 2√2 − √5 eller alltså alternativ (c).

Jag har aldrig hört talas om "pappos-guldos" och inte ens Google levererar något användbart vad jag kan se. Har du stavat detta rätt?

Hur som helst, om du ritar upp området som skall roteras så ser du att det är ekvivalent med toppen av cirkeln som utgörs av x^2+y^2 = 1, dvs du kan få fram volymen lika bra genom att göra en variabeltransformation och sedan göra en vanlig rotationskropp runt den nya, horisontella axeln.

Den räta linjen x + y = 1 skär cirkeln x^2+y^2 = 1 i punkterna (1,0) och (0,1). Den delen av linjen x + y = 1 som är inuti cirkeln har således längden √2 vilket erhålls ur Pythagoras sats.

Du kan nu konstruera en funktion y = f(x) som skall ha samma höjd över x-axeln som cirkeln x^2+y^2 = 1 har över den diagonala linjen x + y = 1 genom att helt enkelt skriva

f(x) = √(1-x^2) - C, där C är en konstant som vi kan beräkna genom att sätta

f(-(√2)/2) = f((√2)/2) = 0 (skärningspunkterna med den horisontella axeln)

Detta ger √(1-2/4) - C = 0 ⇔ C = √(1/2)

Då är alltså f(x) = √(1-x^2) − √(1/2).

Enligt vanliga rotationskroppsmetoden blir volymen

V = ∫π*(f(x))^2 dx med integrationsgränserna -(√2)/2 och (√2)/2

Integranden blir π*[√(1-x^2) − √(1/2)]^2 = π*[(1-x^2) − √(2)√(1-x^2) + 1/2] = π*[3/2 − x^2 − √(2)√(1-x^2)].

Här är det bara den sista termen som alls behöver kommenteras − primitiva funktionen till √(1-x^2), som jag inte omedelbart hittar online men som säkert finns om man letar lite längre.

Om integrationsgränserna varit -1 till 1 hade det varit enkelt eftersom kurvan y = √(1-x^2) beskriver en halvcirkel och således blir arean π*(1^2)/2 eller alltså π/2. Nu är integrationsgränserna dock -(√2)/2 och (√2)/2. Vi kan dock få fram ett uttryck för denna area genom att rita in en kvadrat med sidan √2 inuti cirkeln som ges av x^2+y^2 = 1. Om kvadraten också har sitt centrum i origo så ser vi att vi har fyra identiska cirkelsegment på vardera sidan om kvadraten, och när vi integrerar √(1-x^2) från -(√2)/2 till (√2)/2 blir den totala arean halvcirkelns area minus ett sådant cirkelsegments area. Men eftersom hela cirkeln har arean π*1^2 = π och kvadraten har arean (√2)^2 = 2 så är arean av ett sådant cirkelsegment (π − 2)/4. Således blir integralen av √(1-x^2) från -(√2)/2 till (√2)/2 lika med π/2 (halvcirkelns area) − (π − 2)/4 (ett cirkelsegments area) = (π + 2)/4. De övriga termerna i den ursprungliga integranden är som sagt mycket enkla att hitta primitiv funktion till, så det lämnar jag som en övning åt dig.

Om det är så att du har en specifik metod som du kanske stavat fel på namnet för så är det kanske bäst att du försöker följa den ändå, ifall den skulle komma på tentan. Jag bidrar endast med detta som ett sätt att dubbelkolla ditt svar.

Pappos-Guldins regel:
http://sv.wikipedia.org/wiki/Pappos-Guldins_regel

Jag tycker att man borde få använda tabellvärden för cirkelsegmentets tyngdpunktskoordinater, annars är det ju ingen vits med använda Pappos-Guldins regel.

Se Circular segment här:
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_centroids

Har börjat med flervariabelanalys och nu i början håller vi på att lära oss att identifiera ekvationer och skissa graferna till dessa. Har nu kommit till ett system av ekvationer där jag ska identifiera skärningen emellan dessa. Jag vet inte riktigt dock hur jag ska gå tillväga. Först löste jag de två ekvationerna var för sig och skissade in respektive graf i rummet R^3. Blev dock fel.

Jag tänker mig att man helt enkelt löser de via att sätta in ena ekvationen i den andra. Hade ena ekvationen också varit linjär hade jag kunnat bl.a. använda mig av gauss-jordan, men då den är andragradare blir det lite svårare. Någon vänlig själv som kan förklara de matematiska stegen? Svaret på 17 är: "circle in the plane x+y+z = 1 having centre (1/3, 1/3, 1/3) and radius sqrt(11/3). På 19 har vi "a parabola in the plane z= 1+x having vertex (-1/2,0, 1/2) and axis along the line z = 1+x, y=0

Uppskattar verkligen all hjälp!

http://www.ladda-upp.se/bilder/epsvdjtqrkajbo/ - 17-18
http://www.ladda-upp.se/bilder/ejbbjkgdbwwsj/ -19