*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Formeln sin 2x=2sinxcosx är användbar.

Du resonerar som en matematiker (vilket är bra i matematik, men kan gå folk på nerverna i andra sammanhang). Boken är inte stringent nog eftersom uttrycket "efter" utan en avstånds- eller tidsangivelse kan betyda hela det efterföljande intervallet. Författaren menar troligen "vid" eller "efter exakt 3 sekunder", eller liknande som inte lämnar frågan öppen för tolkning. Den här sortens otydliga formuleringar är tyvärr väldigt vanliga i böcker för gymnasiematematik och skapar onödigt mycket tolkningsproblem för elever som skall lära sig.

sin x (sin x/cos x) + cos x = 1

Multiplikation av båda leden med cos x ger

sin²x+cos²x=cos x

1=cos x

x=360⁰*n

tack så mycket Jag måste tyvärr vara jobbig och fråga om några till bara. jag förstod inte heller exakt hur jag skulle göra på mellan-frågan och så har jag två ekvationer till.
(x anges i radianer)
den ena: sin 4x=0,88
den andra: cos(x/2)=-0,18

I mellanfrågan får du

2sinxcosx=cosx

Antingen är cosx=0 och då är x=90⁰+n*360⁰

Om cosx≠0 blir

2sinx=1

sinx=1/2

För att lösa

sin 4x=0,88
cos(x/2)=-0,18

behöver du arcsin och arccos. Du kan titta på enhetscirkeln för att hitta alla lösningar.

Tack låter fint

Lös:

[;x^{2}-8\left\lfloor x\right\rfloor +7=0;]

Någon som har något förslag?

Bestäm antalet reella rötter till ekvationen: arctanx+((1)/(x+2))=1

Har även fått följande ledning: För perfekt svar, så krävs det, utöver att man använder en teckentabell
för derivatan, att man korrekt hänvisar satsen om mellanliggande värde aktivt.

Så jag antar att jag ska derivera och sätta den derivatan =0. Vilket jag tror blir:
((1)/(x^2+1)) - ((1)/(x+2)^2). Sedan antar jag att jag ska få två rötter som jag ska göra teckenstudie på. Av denna derivata får jag dock endast en lösning. Måhända har något gått snett på vägen.

Dessutom, räcker det att jag kan visa att jag har två globala extrempunkter för att visa att ekvationen har två reella rötter (som exempel)? Eller måste något mer göras?

Derivatan stämmer och om du räknar ut var den är noll får du fram att funktionen har en minimipunkt i (-0.75, 0.156), är det detta du menar när du säger att du endast får en lösning? Du får tänka på att derivatans nollställen inte är samma sak som rötterna till den ekvationen.

Funktionen är kontinuerlig förutom i -2 så vi får titta på tre intervall: -0.75 → ∞, -2→-0.75, -∞→-2:

Intervall 1:
lim x→∞ arctan(x)+1/(x+2) = pi/2 > 1

När x går från -0.75 till oändligheten går alltså y från 0.156 till pi/2. Eftersom derivatan alltid är positiv på intervallet och funktionen är kontinuerlig där måste funktionen anta värdet 1 en och endast en gång.

Intervall 2:
lim x→-2+ arctan(x)+1/(x+2) = ∞ > 1

När x går från -2 till -0.75 går y från oändligheten till 0.156. Eftersom derivatan alltid är negativ på intervallet och funktionen är kontinuerlig där måste funktionen anta värdet 1 en och endast en gång.

Intervall 3:
lim x→-2- arctan(x)+1/(x+2) = -∞ < 1
lim x→-∞ arctan(x)+1/(x+2) = -pi/2 < 1

Funktionen går från ett värde mindre än 1 till ett annat värde mindre än 1. Eftersom derivatan alltid är negativ på intervallet och funktionen är kontinuerlig där kan den aldrig anta värdet 1.

Ekvationen har alltså två reella rötter, en i intervall 1 och en i intervall 2.

Jag behöver lösa en differentialekvation av typen

a*f'(x) = b - c*f(x)^2

WolframAlpha ger svaret som en tanh-funktion, men jag hänger inte med på hur man kommer dit. Har fattat det som att man ska separera variabler, men fattar inte hur riktigt. Kan någon visa steg för steg? Att jag ska betala för WolframAlpha är ju orimligt.

Tack!

Ja, det är där jag inte riktigt hänger med. När jag löser för derivatan =0 får jag endast -0,75. Jag får inte det andra värdet. Se: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%281%29%2F%28x%5E2%2B1%29%29+-+%28%281%29%2F%28x%2B2%29%5E2%29%3D0

Visst fungerar vanlig polynomdivision men en liten omskrivning gör jobbet snabbare.

t²/(1 + t²) = (t² + 1 - 1)/(1 + t²) = {delar upp bråket} = (t² + 1)/(t² + 1) - 1/(t² + 1) = 1 - 1/(t² + 1)