*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Vardagshjälten Leke löste uppgiften åt mig i inlägget under min post.

Jag har problem med följande uppgift:

"Bestäm gränsvärdet lim h->0 ((3+h)^7-3^7)/h genom att tolka det som värdet av en derivata i en punkt".

Jag försökte först få fram vad (3+h)^7 var, men det blev alldeles på tok för många siffror att hålla reda på. Jag förstår att jag gör någonting fel.

Kan någon vänlig själ hjälpa mig?

((3+h)^7-3^7)/h är en differenskvot (f(x+h)-f(x))/h till en funktion f(x) i punkten x=3. Gränsvärdet blir f'(3).

Ok. Tack för Jag ditt svar OneDoesNotSimply! Jag löste uppgiften nu, men vet inte om jag förstod vad jag gjorde. Det känns alltid lite extra bökigt när det inte finns konkreta modeller att utgå ifrån och som man kan derivera.
Jag satte:

f(x)=x^7

därefter så deriverade jag:

f'(x)=7x^6

Efter att jag deriverat, satte jag in 3 i uttrycket:

f'(3)=7*3^6=5103.

skriv på polär form
-4*pi(6+isqrt(2))

får beloppet till |-4pi|sqrt(38)| = 4pisqrt(38)
argumentet får jag till arctan (sqrt(2)/6) men argumentet är fel tydligen

Du tror att talet ligger i första kvadranten och har missat minustecknet i början. Talet är -24pi-4pi*sqrt(2), alltså ett tal i tredje kvadranten.

"Visa att dP/dt=P(1000-P) om P=1000/(1+C*e^(-1000t)) där C är en konstant".

Här går det inte riktigt som jag vill att det skall göra.
Jag ska nu visa hur jag gjorde för att försöka lösa frågan:

P=1000/(1+C*e^(-1000t))

Jag testade derivera:

P'=((1+C*e^(-1000t)*0-1000*(C*e^(-1000t)*1000))/(1+C*e^(-1000t))^2=
=((1000000*C*e^(-1000t))/(1+2*C*e^(-1000t)+(C*e^(-1000t)^2))=
=((1000000*C*e^(-1000t)/(1+2Ce^(-1000t)+C^2*e^(-2000t).

Efter detta så kommer jag inte så värst mycket längre. Jag lyckas då inte kunna bevisa att dP/dt=P(1000-P).
Vad gör jag för fel? Kan någon hjälpa mig?

Det du har kvar är att multiplicera ihop P(1000-P) och visa att detta är lika med derivatan. Du kan eventuellt behöva uttrycket du hade i det fetmarkerade steget istället, då det är lite snyggare.

Tack Nimportequi!
Jag ser nu att jag var lite väl ivrig med att lösa uppgiften och att jag därför missade denna väsentliga detalj som du påpekade.

[; x''(t) = -\frac{x(t)}{\left(\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}\right)^3} ;]
[; y''(t) = -\frac{y(t)}{\left(\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}\right)^3} ;]

Hur skriver jag om detta till ett system av 1:a ordningens ODE:er?

Förstår nu, hade fått en sak om bakfoten.

ok