*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

En primitiv funktionen till 1/cos²x är tan x.

Komplex Analys.

Hur bevisar jag att området |z - z0| < p är en öppen mängd?

En ledtråd är given till uppgiften:

Om du vet att |z - z1| < R så vet du att |z - z0| = |z - z1 + z1 - z0| ≤ |z - z1| + |z1 - z0| < R + |z1 - z0| = p - |z1 - z0| + |z1 - z0| = p.

Men fy vilken fuling att subtrahera z1 och sedan direkt addera z1.. Ska man kunna komma på det där? Jaja, nu har jag sett det och vet hur den saken funkar. Cheers!

Det är ett vanligt förekommande "algebraiskt trick" så se alltid efter om du kan använda det. Däremot skulle jag säga att det endast ser lurigt ut när man ser det algebraiskt.

Se det geometriskt så blir det nästan självklart.

Så här ser beviset ut geometriskt https://i.imgur.com/Yw9GclX.png, den stora cirkeln har radien p med origo i z0. Den mindre cirkeln har radien p - "avståndet mellan z1 och z0", detta är alltså avståndet från z1 till den större cirkeln vilket innebär att hela den mindre cirkeln ligger innanför den större (eller ja den tangerar den större vid en punkt).

Beviset går alltså ut på att verkligen visa att den mindre cirkeln ligger innanför den stora, vilket man helt enkelt gör genom triangelolikheten eftersom avståndet mellan z och z0 måste vara mindre än den sammanlagda sträckan z0 till z1 och sträckan z1 till z.

Jag förstår. Sjukt bra med geometrisk tolkning. Tack för din hjälp!

Löst.

Hej!

Jag har kört totalt fast på en ekvation. Den är 2 cos(x)^2 - cos(x) = 3.
Till en början gjorde jag såhär;

2 cos(x)^2 - cos(x) = 3
2 cos(x)^2 - cos(x) - 3 = 0
cos(x) = (1 +/- sqrt(1 - 4 * 2 * (-3))) / (2 * 2)
cos(x) = (1 +/- sqrt(1 + 24)) / 4
cos(x) = (1 +/- sqrt(25)) / 4
cos(x) = (1 +/- 5) / 4
cos(x) = 6/4 , -4/4
cos(x) = 3/2 , -1

Cos(x) kan inte bli 3/2, (dvs. 1,5) då när man tar arccos av bägge sidorna så erhålls x=cos^-1(3/2), vilket är omöjligt. Detta därför att Cos(x) alltid är ett värde mellan -1 och 1 vilket likaså gäller för sinus.

Cos(x) = -1


Vilket tydligen inte var rätt. Då fick jag rekommendationen att ta Cos(x) = t, vilket blev följande;

2 cos(x)^2 - cos(x) = 3
Cox(x) = t

2*t^2 - t - 3 = 0
((2*t^2)/2) - (t/2) - (3/2) = 0
t^2 - 1/2t - 3/2 = 0
t= 1/2 +/- √(((1/2)^2)+(3/2))
t= 1/2 +/- √((1/4)+((12/2)*2))
t= 1/2 +/- √((1/4)+(24/4))
t= 1/2 +/- √(25/4)
t= 1/2 +/- 5/2
t1: 6/2, 3/1, 3
t2: 4/2, 2/1, 2


Så nu slår jag huvudet mot väggen och undrar, vad är rätt och hur går jag vidare för att göra det korrekt?

Ser ut som att du gjort rätt i din första uträkning, cos(x)=-1.
Kollar du på 2 cos(x)^2 - cos(x) = 3 så ser du även att cos(x)=-1 uppfyller ekvationen.

Antar att frågan är "Bestäm x" och isåfall måste du bestämma x utifrån att cos(x)=-1.

Använda t=cos(x) är smidigt för sånna här uppgifter (men det funkar som sagt att göra som du gjorde överst, det är exakt samma sak ), det verkar som du gjort ett slarvfel när du löste t^2 - 1/2t - 3/2 = 0 med PQ.

Kan du förklara för mig hur det kommer det sig att jag får denna rättningskommentar?

Vad eftersöks? Vinkeln som har cosinusvärdet lika med 1. Tänk på att trigonometriska funktioner har periodiska lösningar. Tänk också på intervallet där cosinus är definierad och förklara varför 3/2, förkastas.

Jag förklarade det i mitt första inlägg.

Du har nu fått fram cos(x) = -1, lösningen cos(x)=3/2 är ej giltig pga max värdet av cos är 1.

Så din enda lösning är cos(x) = -1.
Men du är inte helt klar ännu, uppgiften är att bestämma x vilket du inte har gjort ännu.
Vilken vinkel x ger upphov till cos(x) = -1 ?

2