*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Bryt ut 3^x, då får du:
3^x*(3^x+2*3^2)=a <=>
3^x*(3^x+18)=a, gör sedan ett variabelbyte, y=3^x, där y>0 för alla reella x.
=>y*(y+18)=a
<=> y^2+18*y-a=0
<=> (y+9)^2-81-a=0
<=> (y+9)^2=81+a
<=> (y+9) = +-sqrt(81+a)
<=> y = 9 +-sqrt(81+a), notera här att vi söker reella lösningar => a>-81, men också att y>0 => a>0
=> y=9+sqrt(81+a), a > 0.
Byt sedan ut y mot 3^x, som var variabelbytet.
=> 3^x = 9+sqrt(81+a), a>0
<=> x=ln(9+sqrt(81+1))/ln(3), a>0.

Det är ju vilket som. Förlänger du så att nämnarna blir lika, dvs förlänger 1/(x-2) med (x+2) får du (x+2-4)/(x^2-4)=(x-2)/(x^2-4)=1/(x+2) --> 1/4, x-->2.

Japp, jag tolkade det du skrev fel. Ursäkta!

Hade varit intressant om man på något sätt kunde bevisa/motbevisa att |p_2^2-(p_3*p_1)|/(p_3-p_1) är ett heltal för alla p_2>3 och p_3-p_1<10

Tolkade "fel" var kanske dåligt ordval av mig; du tolkade det annorlunda än vad jag hade tänkt. Nåjo, problem solved. :)
Vi har att p3-p1 = {4, 6, 8} (pga p3, p1 udda), samt om p3-p1 = 2 ryms inte p2 mellan dom.

Givet p3-p1 = 4 får vi p3 - 2 = p2 = p1 + 2 -> p2^2 - p3p1 = (p1+2)(p3-2) - p3p1 = p1p3 - 4 - p1p3 = -4. QED i det fallet.

Givet p3-p1 = 6 får vi två fall: p3 = p2+2, p1 = p2-4 eller p3 = p2+4, p1 = p2-2.
p2^2 - p3p1 = p2^2 - (p2-2)(p2+4) = -2p2 + 4p2 + 8 = 2p2 + 8. I andra fallet får vi väl -2p2 + 8.

Vi måste alltså undersöka om det gäller att givet p2 = p3-2 = p1+4 så är 8 - 2p2 delbart med 6 och om p2 = p3-4 = p1+2 så är 8 + 2p2 delbart med 6. Man kan dividera bort en 2-faktor, så man kan kolla om 4±p2 är delbart med 3 under premisserna.

Det känns som ett djupt problem för mitt grunda sinne. Man kanske kan trixa till det på nåt snyggt sätt.

Satsen du formulerade i fallet då p_3-p_1=6 är alltså: 3|4±p_2 om p_3-p_1=6. Kanske kan man på något sätt utnyttja att p_2 är av formen 4k+1 eller 4k+3?

Hur blir det i fallet då p_3-p_1=8? Då är väl p_2=p_1+2=p_3-6 eller p_2=p_1+4=p_3-4 eller p_2=p_1+6=p_3-2?

Det är en del av beviset för satsen ja.

Hur man löser det har jag ingen aning om.
Jo. För det symmetriska fallet med + och - 4 är beviset liknande det allra första, det blir 16/8, vilket stödjer satsen.

Hmm. Om man däremot kollar på de icke-symmetriska fallen får man p3 = p2+6 och p1 = p2-2 eller ombytta siffror; precis som du säger. Detta ger:
p2^2 - (p2+6)(p2-2) = p2^2 - p2^2 - 4p2 + 12. Ombytta siffror ger samma uttryck fast med +4p2 istället. Nu ska vi undersöka följande:

8|12±4p2 <-> 2|3±p2. Det här är uppenbart sant, eftersom p2 är udda.

Bara en pusselbit kvar och den lämnar jag till dig - för stunden iaf. :)

Man drar en linje i en likbent triangel så att det bildas en topptriangel och ett parallelltrapets. En sida har dessa två figurer gemensamt med varandra och den sidan är 8 cm. Resterande av topptriangelns sidor är 7 cm vardera. Beräkna längden av parallelltrapetsens sidor om du vet att både topptriangel och parallelltrapetsen har samma omkrets.

Tre av sidorna i paralleltrapetsen måste vara x,x samt 8. Vi kallar den fjärde sidan för y. Eftersom "den stora triangeln" är likformig med " den lilla triangeln" så gäller det att (7+x)/7=y/8 <--> y=8(7+x)/7=(56+8x)/7.

Eftersom omkretsen för topptriangel = omkretsen för parallelltrapetsen gäller det att x+x+8+(56+8x)/7=22

Hmm det verkar som att det inte alltid gäller att 3|4±p_2 då p_3-p_1=6.

Tex: p_2=11, p_1=7 och p_3=13.

4+11=15 som är delbart med 3, men 4-11=-7 som ej är delbart med 3.

Ett annat exempel:

p_2=13, p_1=11 och p_3=17.

4+13=17 som ej är delbart med 3, men 4-13=-9 som är delbart med 3.

Alltså måste vi istället bevisa att 3|4+p_2 eller 3|4-p_2 då p_3-p_1=6.

x=2,54545
y=10,9

Är det korrekt?

x+x+8+(56+8x)/7=22

7x+7x+56+56+8x=154

22x=42

x=42/22=21/11

Jo precis. Det hade jag med i första inlägget om du läser det igen (såg just att jag hade fel tecken, så jag drar det igen).

p2 = p1+4 = p3-2 ger p2^2-(p2+2)(p2-4) = 8 + 2p2 som ska delas med 6 <-> 4 + p2 ska delas med 3. Så om vi har p2 = p1+4 måste det gälla att 4+p2 är delbart med 3.

Om vi å andra sidan har p2 = p1+2 måste det gälla att 4-p2 är delbart med 3.

Ditt första exempel: p1 = 7, p2 = 11 -> p2 = p1+4, så vi ska kolla om 4+p2 är delbart med 3. 11+4 är delbart med 3.

Ditt andra exempel: p1 = 11, p2 = 13 -> p2 = p1+2, så vi ska kolla om 4-p2 är delbart med 3. 13-4 är delbart med 3.