*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Molly påstår att funktionen f(x) = 25 + 28x^2- x^4 har tre nollställen. Avgör om detta är sant genom att rita en enkel skiss av funktionens graf.

Hur tar man reda på om den har tre nollställen??

Ska jag bara beräkna funktionen och tillämpa pq formeln eller gäller annat?

Hur kommer det sig att jag inte får samma svar om jag integrerar 10-10e^(-t) och tar det minus integreringen av 9-9e^-1 (mellan 0 och 5 på båda) som om jag slår ihop de som man kan göra enligt regeln?

Kalla f=10-10e^(-t) och g=9-9e^(-1). Menar du att du får olika värden för §(f-g)dt och §f dt-§g dt? Det ska du inte få, utan du gör ett fel någonstans.

Jag tror att du kan lösa uppgiften, bara det att du inte vet vad du söker.

a) Du är ute efter när derivatan h'(t)=2,0 (förutsatt att man menar hastighet i höjdled, den absoluta hastigheten går inte att beräkna med givna värden).

b) Du söker maximipunkter (leta i stationära punkter, det vill säga där h'(x)=0, och i ändpunkter på definitionsintervallet, det vill säga t=0 och t=10).

Antingen kan du försöka lösa ekvationen f(x)=0 eller så kan du skissa grafen. För att göra en skiss av grafen kan det vara bra ta reda på var eventuella max, min eller sadelpunkter ligger.

f(x) =25+28x^2-x^4
f'(x)=56x-4x^3=4x(14-x^2)=4x(sqrt14+x)(sqrt14-x)

Undersöker teckenkaraktären på f'(x) på olika intervall:

om x<-sqrt14 så är f'(x)>0 => f(x) är växande på intervall (1)
om -sqrt14<x<0 så är f'(x)<0 => f(x) är avtagande på intervall (2)
om 0<x<sqrt14 så är f'(x)>0 => f(x) är växande på intervall (3)
om x>sqrt(14) så är f'(x)<0 => f(x) är avtagande på intervall (4)

f(x)-> -∞ då x->-∞ och f(-sqrt14)=25+28*14-14^2>0 => en lösning på intervall (1)
f(0)=25>0 => ingen lösning på intervallet (2)
f(sqrt14)=f(-sqrt14)>0 => ingen lösning på intervall (3)
f(x)-> -∞ då x->∞ => en lösning på intervall (4)


Så ekvationen har alltså 2 lösningar. Blev lite rörigt när man inte fick rita, hoppas du förstår ändå

Ja det förstår jag. Men kan verkligen inte se mitt fel. Skriver in integralerna var för sig i Wolfram, tar de minus varandra och får 3.5. Skriver jag ihop de blir det 4 (4 är rätt svar).

Okej, insåg precis vad jag hade gjort för fel. Fick 40.0 något och 36.06. Hade råkat skriva 40-36.6 istället för 36.06 tre gånger efter varandra. Nu snackar vi om att vara klumpig.

PQ-formeln kan endast tillämpas på andragradsekvationer. f(x) = 25 + 28x^2 - x^4 är en fjärdegradsekvation. Det går dock att lösa frågan utan att rita en skiss, genom att omvandla f(x) = 25 + 28x^2 - x^4 till en andragradsekvation med omskrivningen t = x². Då fås att

f(x) = 25 + 28x^2 - x^4 ⇔ f(t) = 25 + 28t - t²

som har nollställena t = 14 - √221 och t = 14 + √221. Substituera tillbaka för x² och då fås ekvationerna

x² = 14 - √221 och x² = 14 + √221

Till dessa ekvationer finns endast två reella lösningar, och därmed endast två nollställen.

Den första lösningen fattade jag. Förutom det här med växande och avtagande.

Du säger att om x är större än noll men midre än roten ut 14 (i det här fallet) så är det växande.

Men om den är mindre än både noll och roten ur 14 så är det avtagande.

En sistra fråga. Enligt facit står det att "Falskt, Funktionen har bara två nollställen", okej men hur ska jag komma fram till de svaret, hur vet jag att det var bara två nollställen?

Okej! Tack för förklaringen!! Så om det är mer än två svar, så är det mer än två nollställen?

Jag tycker det räcker att beräkna funktionsvärdena vid x=0 och x=+-sqrt(14). Tillsammans med att f går mot minus oändligheten då x går mot plus eller minus oändligheten kan man se i grafen att det finns precis två nollställen. Om det skulle finnas fler, så vore det nödvändigt med ytterligare en minimipunkt.