Du kan lösa olikheterna var för sig. Du kan t.ex börja med att lösa (2x - 1)/(2x + 3) < 3/x och sedan löser du 3/x <= x² + x + 1. Sedan tar du snittet av lösningarna dvs om du kommit fram till att den första olikheten har lösningarna 0 < x < 3 och den andra har -1 < x < 1 så är lösningen till båda (0, 3) ∩ (-1, 1) = (0, 1).
Jag har följande uppgift: Visa att summan där k går från 1 till n av k^2 = (n(n+1)*(2n+1))/6, n>=1.
Då gjorde jag såhär. 1) n=1, VL=1^2=1, HL=1*2*3/6 = 1 => så det stämmer för n=1.
2) n=p, summam där k går från 1 till p av k^2 = (p(p+1)(2p+1))/6
3) På detta steg skrev SilentVictory tidigare i tråden att jag alltid ska komma ihåg VL_p+1 + HL_p = HL_p+1 och på detta steg räknar jag ut alla VL och HL för den formeln jag skrev upp, alltså att jag sätter in p+1 istället för n i vänsterled, p istället för n i högerled och sen p+1 istället för n i högerled. Sedan så plussar jag ihop VL_p+1 och HL_p och om det blir lika med HL_p+1 så har jag visat för n=p+1.
Så jag försökte applicera samma strategi på problemet ovan men fastnade. VL_p+1 ger mig (p+1)^2 vilket är p^2 + 2p + 1. HL_p ger mig (3p^2 +2p)/6. HL_p+1 fick jag till (2p^3 + 9p^2 + 13p + 6)/6 efter att ha förenklat det.
Men om jag sedan sätter VL=HL så får jag inte att det är samma, vad gjorde jag för fel? Jag vet att påståendet ska stämma för facit skrev det.
Jag har följande uppgift: Visa att summan där k går från 1 till n av k^2 = (n(n+1)*(2n+1))/6, n>=1.
Då gjorde jag såhär. 1) n=1, VL=1^2=1, HL=1*2*3/6 = 1 => så det stämmer för n=1.
2) n=p, summam där k går från 1 till p av k^2 = (p(p+1)(2p+1))/6
3) På detta steg skrev SilentVictory tidigare i tråden att jag alltid ska komma ihåg VL_p+1 + HL_p = HL_p+1 och på detta steg räknar jag ut alla VL och HL för den formeln jag skrev upp, alltså att jag sätter in p+1 istället för n i vänsterled, p istället för n i högerled och sen p+1 istället för n i högerled. Sedan så plussar jag ihop VL_p+1 och HL_p och om det blir lika med HL_p+1 så har jag visat för n=p+1.
Så jag försökte applicera samma strategi på problemet ovan men fastnade. VL_p+1 ger mig (p+1)^2 vilket är p^2 + 2p + 1. HL_p ger mig (3p^2 +2p)/6. HL_p+1 fick jag till (2p^3 + 9p^2 + 13p + 6)/6 efter att ha förenklat det.
Men om jag sedan sätter VL=HL så får jag inte att det är samma, vad gjorde jag för fel? Jag vet att påståendet ska stämma för facit skrev det.
Prova att göra det utan att multiplicera ihop parenteserna först. Återkom sen.
Jag har följande uppgift: Visa att summan där k går från 1 till n av k^2 = (n(n+1)*(2n+1))/6, n>=1.
Då gjorde jag såhär. 1) n=1, VL=1^2=1, HL=1*2*3/6 = 1 => så det stämmer för n=1.
2) n=p, summam där k går från 1 till p av k^2 = (p(p+1)(2p+1))/6
3) På detta steg skrev SilentVictory tidigare i tråden att jag alltid ska komma ihåg VL_p+1 + HL_p = HL_p+1 och på detta steg räknar jag ut alla VL och HL för den formeln jag skrev upp, alltså att jag sätter in p+1 istället för n i vänsterled, p istället för n i högerled och sen p+1 istället för n i högerled. Sedan så plussar jag ihop VL_p+1 och HL_p och om det blir lika med HL_p+1 så har jag visat för n=p+1.
Så jag försökte applicera samma strategi på problemet ovan men fastnade. VL_p+1 ger mig (p+1)^2 vilket är p^2 + 2p + 1. HL_p ger mig (3p^2 +2p)/6. HL_p+1 fick jag till (2p^3 + 9p^2 + 13p + 6)/6 efter att ha förenklat det.
Men om jag sedan sätter VL=HL så får jag inte att det är samma, vad gjorde jag för fel? Jag vet att påståendet ska stämma för facit skrev det.
Om du har ∑ f(k) = F(n) och vill visa att f(n+1) + ∑ f(k) = F(n+1) räcker det att du visar att F(n+1)-F(n) = f(n+1). Ser du varför?
Med F(n) = n(n+1)(2n+1)/6, F(n+1) = (n+1)(n+2)(2(n+1)+1)/6 och f(n+1) = (n+1)^2 ska vi alltså visa att
n(n+1)(2n+1)/6 - (n+1)(n+2)(2(n+1)+1)/6 = (n+1)^2
HL är redan förenklat så vi kollar på VL:
(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)/6 - n(n+1)(2n+1)/6= (n+1) * [(n+2)(2n+3) - n(2n+1)]/6 = (n+1) * [(2n+1)*(n+2-n) + 2(n+2)]/6 = (n+1) * [(2n+1)*2 + 2(n+2)]/6 = (n+1) * [6(n+1)]/6 = (n+1)^2 VSV
Om du har ∑ f(k) = F(n) och vill visa att f(n+1) + ∑ f(k) = F(n+1) räcker det att du visar att F(n+1)-F(n) = f(n+1). Ser du varför?
Med F(n) = n(n+1)(2n+1)/6, F(n+1) = (n+1)(n+2)(2(n+1)+1)/6 och f(n+1) = (n+1)^2 ska vi alltså visa att n(n+1)(2n+1)/6 - (n+1)(n+2)(2(n+1)+1)/6 = (n+1)^2
HL är redan förenklat så vi kollar på VL:
(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)/6 - n(n+1)(2n+1)/6= (n+1) * [(n+2)(2n+3) - n(2n+1)]/6 = (n+1) * [(2n+1)*(n+2-n) + 2(n+2)]/6 = (n+1) * [(2n+1)*2 + 2(n+2)]/6 = (n+1) * [6(n+1)]/6 = (n+1)^2 VSV
Blev det inte ett teckenfel där? Nu har du skrivit F(n)-F(n+1) = f(n+1).
In an army base, a machine for encryption of secret messages uses three
cogwheels1. The wheels have 17, 39 and 64 cogs, respectively. For each character
that is sent, all the wheels are turned one step forward each. How
the character is encrypted depends on how the wheels are positioned. The receiver of the message has an identical machine operating at the other end of the line, decrypting according to the same principle. (This machine is authentic.)
At the end of the day, the colonel comes in. He is curious about how
many characters have been sent this day. Unfortunately, this has not been
recorded. Nevertheless, one soldier promises to find out the answer from the
position of the cogwheels. At the beginning of each day, all cogwheels are
placed at "position zero". When the colonel arrived, the position of the first
wheel was 3 cogs forward from position zero, the second wheel 5 cogs from
position zero, and the third wheel 4 cogs from position zero. Express in
mathematical terms the question that has to be answered in order to satisfy
the colonel's curiosity. You don't have to answer the question, just phrase it.
(Hint: The question should be a system of modular equation.)
