Låt P vara en separerande samling seminormer i ett vektorrum X. Det är etablerat att X kan associeras till en lokalt konvex topologiskt vektorrum T med lokal bas B given av ändliga intersektioner av mängder U(p,n) = {x ∈ X : p(x) < 1/n } där n ≥ 1 och p ∈ P. Låt f: X -> F vara en linjär funktional. Uppgiften är att visa att följande påstående är ekvivalenta:
1) f är kontinuerlig i (X,T)
2) Det finns ett heltal n ≥ 1 sådan att f kan begränsas enligt följande:
|f(x)| ≤ Σ_{i=1}^n c_i p_i, för c_i > 0 och p_i ∈ P
Jag har aldrig lyckats bemästrat topologi så jag är osäker på tillvägagångssättet. Jag tänker mig ett resonemang enligt följande:
1) => 2)
Om f = 0 följer det trivialt. Om f ≠ 0 så är f begränsad i någon omgivning V av 0. Då B är en bas har vi att
V = ∩^n_i U(p_i, i) = { x ∈ X : p_i(x) < 1/i för alla 1 ≤ i ≤ n}
Poängen som jag ser den är att utnyttja att P är en separerande familj, dvs, det finns något p_k sådant att p_k(x) ≠ 0 if x ≠ 0.
Hur garanterar jag att ett sådant p_k deltar i konstruktionen av V? Det är etablerat att alla p ∈ P är kontinuerliga, så given någon begränsad p_k som tidigare, så torde man kunna skala till p'_k sådan att p'_k(x) < 1/k? Låt y ∈ U. Då f är linjär och kontinuerlig, kan vi anta att y ≠ 0. Anta att M är konstanten sådan att |f(y)| ≤ M. Vidare
antar vi att det finns ett p sådant att det finns en konstant c > 0 med c ≤ p_k(y) ≤ 1/k för något k. Låt c_k = M/c, och vi har att M ≤ c_k p_k(y). Således följer det att
|f(y)| ≤ M ≤ Σ_{i=1}^n c_i p_i
Slutligen använder vi något argument angående translation för att utöka olikheten till hela X?
2) => 1)
Här tror jag att jag missar något. Vi vet att alla p är kontinuerliga, således begränsade. En ändlig summa av begränsade funktioner är begränsad, således är f begränsad och därmed kontinuerlig?
