Ställ era frågor om kvantmekanik

Coolt... Tack för svar

Om [p_i,p_j] = 0 så betyder det att vi kan hitta en komplett uppsättning av egenvektorer av alla tre komponenterna av rörelsemängden.

Exakt vad betyder en komplett uppsättning? Varför kan man göra detta bara när p_i och p_j kommuterar?

I det ändligdimensionella fallet betyder det bas i den vanliga meningen från linjär algebra. I det oändligdimensionella fallet betyder det att ändliga linjärkombinationer är täta i tillståndsrummet. Det vill säga, för ett tillstånd [;\psi;] och en fullständig mängd vektorer [;\{ \alpha_i \} ;] kan vi alltid hitta [;a_i ;] så att bara ändligt många [; a_i \neq 0;] och [; \big|\big| \psi - \sum_{i = 0}^\infty a_i \alpha_i \big|\big| < \varepsilon ;]. Detta är, för Hilbertrum, ekvivalent med [; \psi = \sum_{i = 0}^\infty a_i \alpha_i ;] för någon uppsättning konstanter [; a_i ;] (och är [;\alpha_i ;] en ortonormal mängd har man den vanliga formeln [; a_i = \langle \alpha_i, \psi\rangle ;]. (Jag har inte använt bra-ket-notationen här eftersom den blir lite bökig här...)

Anledningen till att man inte kan göra det när operatorerna inte kommuterar är helt enkelt för att operatorerna inte delar egenrum då. Ta till exempel [; \sigma_z = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right), \sigma_x = \left(\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right) ;]. Egenvektorerna för [;\sigma_z ;] är uppenbara och det är lika uppenbart att de inte är egenvektorer för [;\sigma_x ;]; man kontrollerar enkelt att [; [\sigma_x, \sigma_z] \neq 0 ;]. Varför man kan göra det när de kommuterar är lite krångligare (för motsatsen räcker det ju med att ge ett motexempel), det finns ett bevis här http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=561694 Argumentet där är skrivet för det ändligdimensionella fallet men borde funka i det oändligdimensionella fallet om operatorerna är begränsade.

Tackar! Det blev genast klarare. Är det i funktionalanalysen man lär sig om sådana här saker?

En fundering. Kan A och B kommutera även om egenrummet till B bara är ett delrum till A? Dvs alla egenvektorer hos B är egenvektorer för A men inte tvärtom. Det går ju inte om vi inte har några degenererande egenvärden eftersom dimensionerna på matriserna då skulle vara olika och matriser med olika dimensioner kommuterar inte. Men hur blir det i det degenererande fallet?

edit: Jag ser nu att i sista beviset i länken. Så skriver man

v = w_1 + ... + w_n och antar att alla w är linjärt oberoende. Men n i det här fallet behöver alltså inte vara lika med dimensionen på A och B, utan det räcker att B är ett underrum till A.

En sak jag tycker är konstigt i detta bevis är följande:

Man antar att följande gäller:

Bw_i = b_iw_i och får i slutet ut att

Aw_i = aw_i och konstaterar därför att w_i även är en egenvektorer till A vilket slutför beviset.

Men som det ser ut hör alla egenvektorer w_i till samma egenvärde a (det är inget index på a). Det verkar konstigt.

Ja, de kan fortfarande kommutera, varför skulle inte det gå?
Nej, det är inte konstigt, för i början av beviset utgår man ju från en egenvektor v till A med egenvärde a, vilket ju är vad man sen utvecklar i w_i. Så det är snarare väldigt naturligt att alla w_i (vilket inte är samma sak som alla egenvektorer till B) har egenvärde a under A. Tänk efter vad detta betyder i kvantmekanik och du kan förhoppningsvis förstå att det är naturligt.

Tack Entr0pi och sp3tt för svaren, och jag tror saker och ting verkar klarna lite grand iallafall, men det tar ju inte lång tid innan man stöter på patrull igen. Jag köper Hilbertrumkravet absolut, ska vi se om jag förstått det rätt:

Man har något system i ett tillstånd \psi = \sum_n c_nf_n där f_n är någon bas för Hilbertrummet H.
Om vi ska verka (mäta) på det tillståndet med en operator A spektraluppdelar A H som en direktsumma av de delrum som spänns av egenfunktionerna till A, \psi = \sum_n c'npsi_n så att A\psi = \sum_n c'n \lambda_n\psi_n där \lambda_n är det reella egenvärdet som svarar mot egenfunktionen \psi_n, och c'n är sannolikhetsamplituden, som jag inte riktigt vet hur man ska tolka annat än att beloppet av den i kvadrat är sannolikheten för att A ska visa motsvarande egenvärde. Och att skriva H som en direktsumma av egenfunktionerna kan vi inte göra om vi inte sitter i ett Hilbertrum.

Anledningen till att jag började fundera på det handlade om rörselsemängdsoperatorn P = -i\hbar\nabla
och att om den verkar på ett tillstånd \psi i L^2(R^3) till exempel, hur kan vi då vara garanterade att
P\psi tillhör L^2(R^3), att den inte gör något med \psi som gör att den inte blir integrerbar Dessutom måste det ju finnas en massa element i L^2 som inte är deriverbara överhuvudtaget, så om alla tillstånd har en rörelsemängd, så beskriver inte alla element i L^2 något tillstånd?

http://www.youtube.com/watch?v=Ztc6QPNUqls

Denna video förklarar hur det ligger till med Higgs-partikeln. Jag fattar inte riktigt till 100%.

99% av våran massa = störningar/fluktuationer i vakuum-fält/gluon-fält.

1% av våran massa påverkas av Higgs-fältet, och 99% påverkas inte, då det inte... Ja varför? För att det är ren energi, eller vad?

Fattar inte...

Läser min första kvantkurs och har tyvärr en del luckor. Några basicfrågor:

En tillståndsvektor [; \psi ;] beskriver ett systems tillstånd fullständigt. I princip kan man då se detta som att [; \psi ;] bär information om de möjliga mätningar man kan göra på systemet och tillhör ett Hilbertrum. Det jag har lite svårt att förstå är den faktiska innebörden av detta. Hur kan en tillståndsvektor till exempel representera både rörelsemängden och position för vårt system? Det känns som att dessa borde tillhöra olika "Hilbertrum".

Kommer heller inte runt skillnaden på en tillståndsvektor och en vågfunktion som båda så behändigt betecknas [; \psi ;]? Innehåller vågfunktionen samma information som tillståndsvektorn? Vad är skillnaden mellan dessa? Att bara gör om tillståndet till en våg för att kunna använda sig av vågfysik?

Borde de göra det? I klassisk mekanik är tillståndet en punkt i det enda fasrummet och har ändå information om rörelsemängd och position, oavsett hur många partiklar systemet består av. Du bör inte tänka på tillståndsrummet som det fysiska rummet, precis som fasrummet inte är det fysiska rummet. Det är egentligen enkelt att inse, fasrummet kan ha dimension upp till 6N och tillståndsrummet är ofta oändligdimensionellt.

Sen kan du ju till varje tillstånd associera en tredimensionell vektor som innehåller väntevärdet för rörelsemängdsoperatorn och en vektor med väntevärdet för positionsoperatorn, och då blir ju det två olika vektorer. Men de innehåller inte en fullständigt beskrivning av systemet.

Tillståndsvektorn representerar all information genom att mätbara storheter (observabler) representeras av hermitiska operatorer. Då garanterar spektralsatsen att givet en observabel O, kan alla tillståndsvektorer skrivas som en summa av egenvektorer till O. När tillståndsvektorn är en egenvektor för O med egenvärde [; \lambda ;] tolkar vi det som att systemet är i ett tillstånd där O definitivt har värdet [; \lambda ;]. Det är här den fundamentala skillnaden mellan klassisk och kvantmekanik ligger: i klassisk mekanik är alla observabler funktioner av position och rörelsemängd, det vill säga på fasrummet, men i kvanten finns det ingen garanti för att en observabel ska ha ett definitivt värde. För att specificera ett tillstånd måste du ange koefficienten framför varje egenvektor i utvecklingen i egenvektorer för någon observabel O. Det är mycket mer information än väntevärdet.
Vågfunktioner är tillståndsvektorer, de är vektorer i Hilbertrummet L^2 som består av komplexvärda funktioner, med inre produkt [; (\psi,\varphi) = \int \overline{psi}\varphi dx ;] och funktionerna ska vara sådana att [; (\psi,\psi) ;] är ändligt.

Jag tänker på det som att vågfunktionen är tillståndsvektorn skriven i en viss bas. Vad betyder detta? Jo, Hilbertrummet är ett vektorrum, och har därför olika möjliga mängder av basvektorer. Och för ett vektorrum gäller ju följande: låt [; \{ e_i \} ;] vara en mängd basvektorer; då kan alla vektorer i rummet skrivas på formen
[; \psi = \sum_i \psi_i e_i ;],
vilket ju bara är vanlig linjär algebra. Konstanterna psi_i bestämmer psi unikt. Okej, sen till vårt Hilbertrum; där är mängden av basvektorer kontinuerlig (och Hilbertrummet är därmed oändligdimensionellt). Ett exempel på en sådan bas är basen bestående av alla "positions-tillstånd", dvs. tillstånd med en bestämd position i rummet (i.e. dirac-deltan, om du vet vad det är). Vi skriver ett sånt tillstånd som säg [; \mathbf{x} ;], där värdet på x kan ta alla olika positionstillstånd. Om vi vill kan vi skriva e_x där nu x är ett kontinuerligt index, istället för det tidigare e_i. Sen kan valfritt tillstånd psi utvecklas i denna bas, precis som i det diskreta fallet, men istället för summa får vi ta en integral eftersom basvektorerna är kontinuerliga. Så vi får
[; \psi = \int dx \psi(x) \mathbf{x} ;],
där nu psi(x) är den kontinuerliga motsvarigheten till c_i. Detta psi(x) är sen precis det vi kallar vågfunktionen. Självklart kan vi sen också byta bas och skriva vårt tillstånd i t.ex. tillstånd med bestämd rörelsemängd: detta basbyte är inget annat än fouriertransformen.

T.ex Protoners massa har ingenting med Higgs att göra. Den får massan ifrån den kinetiska energi utav de masslösa kvarkarna inuti den.