Ställ era frågor om kvantmekanik

Dels får man väl problem med analysen eftersom gränsvärden kan saknas i ett icke-fullständigt rum. Sen kräver också Riesz representationssats fullständighet. Beviset använder sig nämligen av projektionssatsen (om [; S \subset H ;] är ett slutet underrum är [; H = S \oplus S^\perp;] och för alla [; v \in H ;] finns ett entydigt [; u \in S ;] så att [; ||u-v|| = \inf_{x \in S} ||x - v||) ;]) vars bevis använder fullständighet (man konstruerar en följd som är Cauchy, alltså konvergerar).

Det är nog möjligt att Wigners sats kräver fullständighet också men jag har inte läst hans artikel () så jag vet inte riktigt. Ska kolla.
Edit: Ok. För att visa Wigners sats använder man utveckling i en ortonormal bas, och det kräver fullständighet, vilket kanske är ganska naturligt.

Eftersom alla pre-Hilbertrum ändå kan utvidgas till Hilbertrum så behöver man nog inte fundera så mycket på att vi kräver fullständighet. Dels går det alltid att ordna, dels så är det en behändig egenskap att ha. Man kan inte göra så mycket analys utan den, som sagt.

Funderar på en sak.

Om en potential V(x) har jämn paritet, då gäller att om energin är icke-degenererande att lösningen U(x) till Schrödinger ekvationen har antingen udda eller jämn paritet. Om energin är degenererande så kan lösningen U(x) ha blandad udda och jämn paritet.

Skulle någon kunna förklara detta lite tydligare? Vad händer om V(x) är udda?

Säg att Hamiltonianen har formen H = p^2/2m + V(x). Låt P vara paritetsoperstorn |x> \maptso |-x> där |x> är ett egentillstånd för position. p^2 kommuterar med P. Att V(x) kommuterar med P är samma sak som att V är jämn. Alltså kommuterar P med H i detta fall. Då kan vi hitta samtidiga egentillstånd till P och H. Eftersom P^2 = 1 kan vi bara ha +-1 som egenvärden. Att vi inte har degenering betyder att varje egenrum för H är endimensionellt, så vi har P|E> = +-|E>. Om egenrummen har mer än en dimension kan vi ha både +-1 som egenvärde för P i samma egenrum för H.

Om V(x) är udda delar P och H inte egenrum.

En fråga!

I linjeintegralformuleringen av kvantmekanik säger man att bidraget av en "bana i" har en fas proportionell mot verkan S:

F_i(x) = const*e^[(i/h)S(x)],

där amplituden ges av summan över dom olika F_i. Men hur resonerar man när man påstår att F_i(x) = const*e^[(i/h)S(x)] ?

Man kan härleda det från den vanliga formuleringen av kvantmekanik. Detta är en standardhärledning som du kan hitta i valfri mer avancerad bok om kvantmekanik (se t.ex. Sakurai, Ballentine etc.), och här har du en pdf med den: http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0004090v1.pdf . Jag tycker det är rätt häftigt att man bara behöver lite finurlig algebra för att se att formuleringen med Hilbertrum etc. är ekvivalent till en formulering med en galen integral över rummet av alla vägar.

Tusen tack! Ska kolla igenom det.

Har läst igenom härledningen nu.

Det är ett steg jag är lite osäker på bara.

På sidan 7 (ekvation 6) så flyttar dom in Hamiltonianen innanför integralen och integrerar över den. Dom gör samma sak med <q_(j+1)|. Är det för att alla produkter då (p_j)^2 verkar på |p_j> ändå blir noll när dom har olika index?

Lekmansfråga: Jag har hört/läst om partiklar som istället för att inte kunna accelerera upp i ljushastigheten, inte kan accelerera ner i ljushastigheten. Dessa skulle åka snabbare ju mindre energi som tillförs.

Någon som vet något om detta?

Jag kan bara säga att enligt relativistiska formler kan man matematiskt tillåta v>>c.
Men det finns inget som tyder på att det kan existera.
Man kan inte enbart från en ekvation, dra slutsatsen att det kan existera v>c.

Det måste till ett experiment för att styrka en sådan tolkning. Det finns ännu inte.
(Generellt så är det vanskligt med extrapoleringar.)

Möjligen kan man tolka t.ex. relativitetsteorin på olika sätt.

Christer

Förstår inte exakt vad du menar, men nej, skulle jag tro. Det som händer är det följande: |p_j> är ett egentillstånd till operatorn p, med egenvärde p_j. Så i första raden av ekv. (6) har de operatorn H, som består av summan av de två operatorerna p^2/2m och V(q). När operatorn p^2 agerar på tillståndet |p_j> så har vi att p^2 |p_j> = p_j^2 |p_j>, där nu p_j är ett nummer. Och på samma sätt låter de V(q), vilket är en operator eftersom q är en operator, agera på q's egentillstånd <q_(j+1)|, vilket ger V(q_(j+1)) vilket nu är ett nummer. Då har de kvar två nummer, vilka de så klart kan ta ut och skriva framför tillstånden, som de gör i andra raden av ekvation (6). Detta är själva grundideen med härledningen: man stoppar in egentillstånd av de två delarna av H, så att man kan gå ifrån att ha H som en operator, till att ha kvar rena nummer som man integrerar över. Hoppas detta hjälper.

Jag tänker bara att det som inte tillåts är acceleration till c. Så länge en partikel håller sig över eller under c, borde det inte vara något problem. Lite som kvantgas och negativ temperatur.

Tack för svar

Jepp, i princip har du helt rätt, relativitetsteori tillåter formellt partiklar med v>c. Namnet på sådana partiklar är tachyoner, och de dyker upp i vissa teorier. Men man brukar se detta som ett tecken på att teorin är felaktig på något sätt, eftersom tachyoner leder till seriösa problem med kausalitet då de färdas bakåt i tiden, och även leder till att vakuumet i teorin är instabilt.