Tolka ett uttryck (infinimum)

Hej alla Matteknackare !

Jag går rakt på sak:

Jag har en kedja slump variabler S_n = X_1+...+X_n där X är iid variabler (indipendent indentically distributed) och p(X_1 = 1) = p samt p(X_1 =-1 ) = 1-p

Hur skall jag då tolka uttrycket

T_a = inf{n|X_n=>a}

Tolkning 1: Ta får värdet n "första" gången villkoret uppfylls dvs första gången X_n => a får Ta det dåvarande värdet på n.

Detta ger då att Sta = ∑ X_t (från 0 till T_a). Men efter att ha kunsulterat facit så skall jag få värdet S_ta = a, vilket för mig blir obegripligt med åvanstående tolkning.

Mycket tacksam för hjälp !

Hur definieras S_ta?

Det är inte så att dom menar att

T_a = inf { t | S_t ≥ a}

om a då är ett positivt heltal så blir ju

S_{T_a} = a.

Nej jag menar tyvärr: T_a = inf{n|X_n>=a}


S_(T_A) defineras då helt enkelt som (min tolkning): S_TA = X_1+...+X_Ta
(Detta efterssom S_n = X_1+...+X_n)

Frågan är dock om jag gjort rätt i min tolkning av T_a dvs att T_a är "indexet för första träffen".

Jag tycker då det är underligt att S_(T_a) = X_1+...+X_Ta = a , efterssom sista varriablen (då vi vell "går in i mängden X_n >= a ? ) torde vara en enda som är mindre än just a. Alltså bör summan vara större ?


Det åvanstående var ett annat sätt att se samma problem och jag hoppas innerligt att det kan förtydliga min tydligen dunkla frågeställning.

Tackar på förhand !

Det skall sägas att det framkommer i uppgiften att E[T_a] = a / (2*p - 1)
vilket gör att man kan få ut E[S_TA] Genom wlads ekvation. Men tolkningsfrågan kvarstår...

Om det står som det står, att

T_a = inf {n | X_n >= a}

så tolkar du ju det rätt, nämligen att T_a är första indexet för vilket X_(T_a) >= a. Men håll med om att det är väldigt konstigt att skriva så, om nu X_n bara kan ta värdena 1 och -1.

Det jag tror är helt enkelt att dom har skrivit/tryckt fel, och menar att

T_a = inf {n | S_n >= a}

Detta styrks också av att med denna definition så blir faktiskt E(T_a) = a/(2p-1) (under förutsättning att a är ett positivt heltal och p > 1/2), vilket det inte blir med den andra definitionen av T_a. Och som du påpekar, om dom nu menar det dom skrivit så blir helt enkelt inte S_{T_a} = a, vilket också torde tyda på att det är fel nånstans.

Varifrån har du fått att X_n bara kan anta värdena 1 och -1?

Från

Det kan ju vara så att tryckfels nisse har vart framme och korrumperat uppgiften. Vid närmare eftertanke så är det högst sannolikt att så är fallet..

Kan du scanna in den och lägga upp?