Projektuppgift "Kluris"

Hejsan! Skulle någon kunna hjälpa mig med följande uppgift från kursen Matte D på gymnasiet:

"När man ska välja kod gäller det att försöka hitta en kombination som är lätt att komma ihåg. När Eskil skulle välja kod valde han ett tal så att om han satte en etta både före och efter talet så skulle de nya talet bli 99 gånger större än det ursprungliga talet. Vilket tal valde Eskil?"

tack på förhand // Fjollig

Rätt svar är talet 112359550561797752809 ;D

Talet är x.
Det nya talet blir 10^(floor(log_10(x))+2)+10x+1

Dra ifrån 99x så får du en ekvation. Med en snabb titt ser jag inga heltalslösningar för x<10^12

Edit: hur fasiken ska man kunna lösa detta analytiskt när man läser MaD?

Alltså, om talet hade varit typ 71 så skulle 1711 vara samma som 71*99?

I så fall finns det i alla fall inget tal under 10 000 som uppfyller det.

ekvationen vi har är
99x=10^n+10x+1->89x=10^n+1, n-2 är då antalet siffror i x.
man har 10^(n-2)<(10^n+1)/89<10^(n-1), så för varje tal n som 89|10^n+1 får vi en lösning. ställ upp divisionen med liggande stolen:
______________________
1000000.....0001 |89

Nu är det bara att dividera på och när du får rest 88 så är det där du slänger in 1an och avläser svaret

(analogt med att beräkna kongruenser mod 89 och få en tabell, det ger även alla n, men det tror jag inte riktigt ingår i Ma D)

Jag hittar inget tal under 65536.

Det närmsta jag kommer är 11236 som med ettorna blir 1112361.

11236*99=1112364


1112364-1112361=3.

Nära nog?

Edit:
Hittar inget tal under 10 000 000 heller

Edit:
Hittar inget tal under 10 000 000 heller[/quote]

Inte helt överraskande, med tanke på att det minsta rätta svaret som sagt är 112359550561797752809 (kanske finns fler, vem vet.)

ja det finns oändligt många, då kongruenserna för 10^n mod 89 kommer att upprepa sig med en cykel på 89 eftersom 89 är ett primtal

Trodde du bara drog till med nåt, fast vid närmare granskning verkar det finnas något form av samband.

11236 ger skillnad 3
112360 ger skillnad 39
1123596 ger skillnad 43

Mellan dem är skillnaden mycket större.

ja de här verkar ju inte som den enklaste uppgiften kanske, blev galen på denna efter en timmes funderande.

Om man går matte D går den bara att räkna ut på ett sätt, och det är att "gissa" sig fram. Börja med att inse att det vi har är, som Kurret skrev:

99x=10^n+10x+1 dvs 89*(nått tal) = 10^x + 1

Sen är det bara att på miniräknaren ta 89+89+89 ett gäng gånger.. Tex får man 1068 efter nåra tryckningar på enter. Då kan man ta 1068 * 10 så man får 10680, sen dra bort 89 några gånger så man kommer så nära 10001 som möjligt, sen gångra med 10, ta bort/lägga till 89, gångra med 10 osv så man håller sig så nära 100...001 som möjligt.. till slut får man då 100 000 000 000 00 000 000 001 dvs 112359550561797752809 * 89

Oj, vad lätt kombinationen verkar bli att komma ihåg.