algebra...

y^2 + 6y + 9

detta ska faktoriseras...

hur skulle ni göra?

(y+3)^2
1:a kvadreringregeln.

Kvadreringsregel som sagt, det 'ska' man se, om inte annat så antag en faktorisering:

y^2 + 6y + 9 = (y + a)(y + b) där a,b är tal, att det inte är koefficienter framför y:na är rimligt då y^2 har en etta framför sig. Expanderar man detta så blir det:

(y + a)(y + b) = y^2 + by + ay + ab = y^2 + y*(a + b) + ab

Så nu måste:

a + b = 6
ab = 9

Gälla, om det är en tillrättalagd skoluppgift så kan man anta heltalsvärden. Vad måste a,b vara för att ab = 9 ska kunna gälla? Jo a = +- 1, +- 3, +- 9 kan gälla och samma sak för b. Exempelvis:

a = 1 ger b = 9 men a + b = 10 då så a + b = 6 ej uppfyllt
a = 3 ger b = 3 och a + b = 6
a = 9 ger b = 1 och a + b = 10
a = -1 ger b = -9 och a + b = -10
a = -3 ger b = -3 och a + b = -6
a = -9 ger b = -1 och a + b = -10

redan när vi prova a = 3 som gav b = 3 var vi klara, det andra var bara för att redovisa. Så då är:

(y + 3)(y + 3) = y^2 + 6y + 9 och vi har funnit att y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2. Men, man ska se sådana enkla...

Gör en kvadratkompletering, man behöver inte "se" något utan bara göra samma förfarande för alla 2a grads faktoriseringar.

ax^2 + 2bx + c = 0 <=> x^2 + 2bx/a + c/a = (x + b/a )^2 - (b/a)^2 + c/a = 0

a,b,c är godtyckliga och skilda från noll. 2an framför b är för att det blir lättare att se när man delar med 2 i sista steg.
Jag tycker att detta sättet är otroligt mycket lättare än att sätta upp ett ekvationsystem att lösa.
Om man inte har sett detta förut kan det vara lite jobbigt men det är otroligt smidigt när man kan det.

Jag brukar studera koefficienterna för att försöka se a och b i faktoriseringen (y+a)(y+b).

Annars kan man lösa andragradsekvationen y² + 6y + 9 = 0. Den s k pq-formeln ger y = -6/2 ± √((-6/2)² - 9) = -3 ± 0 = -3 (dubbel rot). De två rötterna y1 och y2 (i det här fallet är y1 = y2 = -3) ger a och b enligt a = -y1, b = -y2, dvs i vårt fall a = b = -(-3) = 3, så att faktoriseringen blir (y+3)(y+3) = (y+3)².