Jag tolkar det som att X1,X2,X3 är ett oberoende och likafördeladet stickprov.
Du har tre skattningar av av populationens väntevärde och du söker den av dem så är "bäst" i den meningen att den är väntesvärdesriktig med ett så liten varians som möjligt.
Redan här inser man att trean är enda rimliga svaret, men vi räknar på det iaf:
Låt m vara den gemensamma väntevärdet och v deras varians.
Y1=0.2 X1 + 0.2 X2 + 0.6 X3
Y2=0.3 X1 + 0.4 X2 + 0.6 X3
Y3=(X1 +X2 +X3)/3
E[Y1]=0.2E[X1]+0.2E[X2]+0.6E[X3]=(0.2+0.3+0.6)*m=m
E[Y2]=0.3E[X1]+0.4E[X2]+0.6E[X3]=(0.3+0.4+0.6)*m=1.3m
E[Y3]=(E[X1]+E[X2]+E[X3])/3=(m+m+m)/3=m
Här har jag utnyttjat väntevärdens linjaritet
Y1 och Y3 är således väntesvärdesriktiga
Var(Y1)=0.2^2+Var(X1)+0.2^2Var(X2)+0.6^2Var(X3)=0. 44v
Var(Y3)=(1/9)Var(X1)+(1/9)Var(X2)+(1/9)Var(X3)=v/3
Här har jag utnyttjat att variansen är den förväntade kvadratavståndet till väntevärdet så att konstanter kvadreras.
Y3 är alltså "bäst" ,vilket är självklart då de tre variablerna var likafördelade och oberoende.
