Matematik: Kortaste avstånd mellan två linjer i rummet.

Nej, den fungerar inte om linjerna är parallella.

Tja, du kan ju uttrycka avstandet mellan tva godtyckliga punkter pa varsin linje som funktion av tva variabler (positionerna pa de bada linjerna) och sedan minimera for bada variablerna.

Fast vektorvarianten ar lattare.

Se andra inlägget i den här tråden.

fel tråd

hej manne! Jag försöker göra din metod på min uppg som är (fast jag ska bara beräkna avståndet):

Bestäm avståndet mellan linjerna (x,y,z)=(-8,-7,0)+t(10,5,-5) och (x,y,z)=(-8,-6,1)+t(50,25,-25).

jag kör t kryssprodukten på dem: får att de blir 0,0,25 :S

0,0,25 / sqrt(0^2 + 0^2 + 25^2) = 0,0,25/25

då får vi

n*(xyz) = c1
c1 = 0,0,25/25 * 0,0,25 = 25/25 = 1 :S
c2 likadan alltså 1.

känns helt fel..

Dina två linjer är parallella. Kryssprodukten av riktningsvektorerna blir 0 och den metoden kan inte användas. Men eftersom linjerna är parallell kan du välja godtycklig punkt på den första linjen och sätta upp ett uttryck för avståndet till en punkt på den andra linjen och sedan minimera detta uttryck.

med godtyckliga punkter, får man välja vilken som helst, eller finns det ngn villkor som de bör uppfyllas?

& kan du ge mig ett ex på hur jag skulle ställa upp denna då?

l1: (-8,-7,0)+t(10,5,-5)

l2: (-8,-6,1)+t(50,25,-25).

Eftersom riktningsvektorerna v_1=(10,5,-5) och v_2=(50,25,-25) är parallella så väljer vi vilken punkt som helst på linjen och beräknar avståndet från den punkten till den andra linjen. Vi sätter t=0 och får då

P=(-8,-7,0)

Q=(-8,-6,1)

Vi använder oss utav formeln (|v x PQ|)/|v|. Där v=v_1=v_2=(10,5,-5)

PQ=(-8,-6,1)-(-8,-7,0)=(-16,-13,1)

(10,5,-5) x -(16,-13,1)=(-60,70,50)=10√110

|(10,5,-5)|=5√6

(10√110)/(5√6)

Har säkert räknat fel någonstans men metoden bör vara rätt.

Beräkningen av PQ ser fel ut. PQ = (-8,-6,1) - (-8,-7,0) = (0,1,1)

Då blir v x PQ = (10,5,-5) x (0,1,1) = (10,-10,10)

|v x PQ| = 10√3

|v| = 5√6

och (|v x PQ|)/|v| = 10√3 / 5√6 = 2/√2 = √2

Tackar. Ser rätt ut.

1. ) Är dem pareallale för att de ä ren multipel av varandra? *ss*
& man får sätta t=vad som helst?

2) för om Där v=v_1=v_2=(10,5,-5) kan man lika gärna använda vilken som helst då av tex 5ans mulitpler? te (2,1,-1) istället (om man tänker at det blir enklare att räkna? jag har dividerat med 5!)

3) är det ngn skillnad på frågan den "kortaste avståndet mellan linjerna" och "avståndet mellan linjerna" ?

4) om linjerna inte hade varit parallella, kör man fortfarande samma formel? eller är dt ngt tillägg man måste ha?

1) De är parallella för att om du skalar upp riktningsvektorn (riktningsvektorn är det efter t:et i ekvationen för linjen) så kommer du få samma vårde.

2) Menar du om du sätter 1/25(50,25,-25) så du får (2,1,-1)? Är inte säker men jag tror nog inte det funkar eftersom formeln förutsätter att du endast använder riktningsvektorn v_1 eller v_2. Om du då skalar upp denna vektor så borde det inte bli rätt resultat.

3) Om jag har förstått det rätt så är det kortaste avståndet mellan linjen den sträckan då både linjerna är parallella med varandra, dvs då riktningsvektorernas skalärprodukt v_1 • v_2=0 (någon kan gärna bekräfta detta för jag är inte hundra).

Genom att ta kryssprodukten av de båda linjernas riktningsvektor så får vi normalvektorn för linjen. Normalvektorn är vinkelrät från linjen och där den korsar den andra linjen är det kortaste avståndet för linjerna.

Som du kanske kan räkna ut så är avståndet mellan två icke-parallela linjer olika beroende på var du är på linjen, så då får du olika avstånd beroende på vilket värde på skalären t i riktningsvektorn som du väljer.

4) För att hitta det kortaste avståndet mellan två icke-parallella linjer så får vi ta dom båda linjernas riktningsvektor v_1 och v_2 och ta kryssprodukten av dessa. Vi normerar sedan denna och tar en godtycklig punkt på de båda planen.

Formeln för detta är |PQ • (n/|n|)|. Där n är normalvektorn från linjerna som vi tar genom att ta kryssprodukten av de båda riktningsvektorerna och PQ en godtycklig punkt på båda linjerna.

Som vi visste innan så blir då avståndet då det kortaste avståndet från den valda vektorn som går längs med linjerna. Det blir alltså vektorn plus den valda värdet på t som är skalären av riktningsvektorn. Om vi låt oss säga har l1:(1,0,1)+(1,1,1) l2:(0,1,0)+(0,3,0) så bör formeln för detta vara |PQ • (n/|n|)|.

Vi börjar då lösa avståndet för dessa två icke-parallella linjer genom att:

1. Sätter t=0 (enklast så) och får P=(1,0,1) och Q=(0,1,0)

2. PQ=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1)

3. Tar kryssprodukten av riktningsvektorerna för att få fram normalvektorn n: (1,1,1) x (0,3,0)=(-3,0,3)

4.(n/|n|)|= (-3,0,3)/|(-3,0,3)|=(-3,0,3)/3√2=(-1/√2,0,1/√2)

Vi får då (-1,1,-1) • (-1/√2,0,1/√2)=0

Nu gav detta noll vilket antagligen betyder att just dessa två linjer skär varandra? Har säkert tänkt fel och räknat fel någonstans, så någon annan får gärna bekräfta att jag tänkt rätt och rätta mig i dom fel jag har i inlägget. Men tillvägagångssättet ska vara rätt.