Matematik: Kortaste avstånd mellan två linjer i rummet.

Ingen som har något svar på min fråga?

Läs första svaret till TS.

Jag räknade ut det på följande sätt:
Bakgrund: beräkningarna utnyttjar ett intuitivt antagande

begrepp:
- vid kortaste avståndet mellan två linjer i rummet, mäts avståndet mellan en punkt p1 på första linjen L1 och en punkt p2 på andra linjen L2
- streckan mellan p1 och p2 definierar ett linjesegment LS

intuitivt antagande
min intuition säger mig att, om L1 och L2 är icke-parallella och | LS | är kortaste avståndet mellan L1 och L2, så är
- LS vinkelrät mot både L1 och L2
- inga andra linjesegment mellan godtyckliga punkter på L1 och L2 vinkelräta mot båda linjerna

beräkning:

strategi:
- hitta en vektor Vn som är vinkelrät mot L1 och L2
- bestäm en vektorekvation för linjesegmentet LS
- hitta det unika punktparet P1 och P2, så att linjesegmenet blir parallellt med Vn
- bestäm avståndet mellan P1 och P2, dvs linjesegmentets längd. Med stöd av intuition är detta avstånd då det minimala mellan linjerna L1 och L2

algoritm:

steg 1: Hitta en vektor Vn som är vinkelrät mot L1 och L2

linjen L1 är parallell med vektorn V1 = (1,1,1)
linjen L2 är parallell med vektorn V2 = (2,-1,0)

(normal)vektorn Vn är vinkelrät mot både V1 och V2
Vn kan härledas med vektorprodukt Vn = (1,2,-3)

steg 2: Bestäm en vektorekvation för linjesegmentet LS
LS = (a-2b, a+b+2, a+2 )

steg 3: Hitta det unika punktparet P1 och P2, så att linjesegmenet blir parallellt med Vn
P1-P2 = LS = 1/7 ( -1, -2, 3)

steg 4: Bestäm avståndet mellan P1 och P2, dvs linjesegmentets längd. Med stöd av intuition är detta avstånd då det minimala mellan linjerna L1 och L2

| LS | = sqrt( 2/7 )

svar:
kortaste avståndet mellan L1 och L2 är sqrt( 2/7 )

detta avstånd identifieras av att linjesegmentet mellan de två närmaste punkterna, tagna från vardera linje, är vinkelrät mot vardera kurva

Ja om du hittar en funktion som beskriver avståndet mellan dessa två linjer.

Har man en sådan funktion behöver man ju inte göra mer än sätta in värden för att ta reda på avståndet mellan två linjer.

Precis

Men om man nu har en funktion som beskriver avståndet som en funktion av en (två?) variabler/parametrar så blir det väl ett minimiseringsproblem som enklast löses genom att hitta extrempunkter (⇒derivering)?

Japp, och då kan du kolla på det andra inlägget i den här tråden.

Försökte mig på ytterligare en metod men det blir inte rätt. Ser någon var det blir fel?

Vi sätter

L1: (x y z) = (1,2,3) + t(1 1 1)
L2: (x y z) = (1,0,1) + s(2 -1 0)

Vi bildar L3 = L1 - L2 = (1,2,3) + t(1 1 1) - (1,0,1) - s(2 -1 0) = (0,2,2) + (t t t) + (-2s s 0).

Vi skriver om den på vektorform(?) (minns ej vad det kallas) så vi får

L3 = (t-2s 2+t+s 2+t)

Vi vill finns för vilket t och s som skalärprodukten mellan riktningsvektorerna i L1 och L2 är noll, dvs då

{ < L3|(1 1 1) > = 0
{ < L3|(2 -1 0) > = 0

<=>

{3t - s = 0
{t - 5s = 0}

Lösning av detta ekvationssystem ger s=-5/7 och t=-11/7. Insättning av dessa värden på parametrarna i L3 ger

L3 = (-1/7 -12/7 17/7) och därav ||L3|| = sqrt(434)/7

vilket uppenbarligen är fel svar. Är denna metod ej möjlig att använda eller slarvar jag?

Uttalar mig inte om matematiken. Instämmer helt i din karakterisering av människor.

Fungerar denna metod avsett om linjerna är parallella, skeva osv?