Matematik: Kortaste avstånd mellan två linjer i rummet.

Någon som har lust att ge lite tips på följande 'problem'

Bestäm kortaste avståndet mellan de två linjerna

1: (x,y,z) = (1,2,3) + t(1,1,1)
2: (x,y,z) = (1,0,1) + t(2,-1,0)

Här är en metod.

Använd två olika parametriseringsvariabler:
1: (x,y,z) = (1,2,3) + s(1,1,1) = (1+s, 2+s, 3+s)
2: (x,y,z) = (1,0,1) + t(2,-1,0) = (1+2t, -t, 1)

Tag en punkt på var linje och teckna avståndet (kvadrerat duger och förenklar) mellan de två punkterna:
L(s,t)² = ((1+s)-(1+2t))² + ((2+s)-(-t))² + ((3+s)-1)²
= (s-2t)² + (2+s+t)² + (2+s)²

Fixera punkten på ena linjen och sök minsta avståndet till andra linjen genom att variera andra punkten (derivera m.a.p. dess parametriseringsvariabel):
(d/ds) L(s,t) = 2(s-2t) + 2(2+s+t) + 2(2+s) = 2(3s-t+4)
= 0 då 3s-t+4 = 0, dvs s = (t-4)/3.

Givet en punkt på ena linjen (den som parametriseras med t), får vi nu fram avståndet från den punkten till den andra linjen:
Sätt L(t)² = L((t-4)/3, t)²
= ((t-4)/3-2t)² + (2+(t-4)/3+t)² + (2+(t-4)/3)²
= (5t/3 + 4/3)² + (4t/3 + 2/3)² + (t/3 + 2/3)²
= (1/3)² ( (5t+4)² + (4t+2)² + (t+2)² )

Nu varierar vi t för att hitta den punkt som ger kortast avstånd till andra linjen:
(d/dt) L(t)² = (1/3)² ( 2*5*(5t+4) + 2*4*(4t+2) + 2*1*(t+2)² )
= 2 (1/3)² ( 5(5t+4) + 4(4t+2) + (t+2) )
= 2 (1/3)² ( 42t + 30 ) = 12 (1/3)² (7t + 5)
= 0 då 7t + 5 = 0, dvs t = -5/7.

Avståndet kvadrerat blir
L(t)² = (1/3)² ( (5(-5/7)+4)² + (4(-5/7)+2)² + ((-5/7)+2)² )
= (1/3)² ( (3/7)² + (-6/7)² + (9/7)² )
= (1/3)² (1/7)² ( 3² + 6² + 9² )
= (1/3)² (1/7)² 126
= 2/7

Alltså blir avståndet L = √(2/7) längdenheter.

En annan metod är att inse att de två linjerna kan bäddas in i två parallella plan och att avståndet mellan linjerna blir samma som avståndet mellan planen.

Den gemensamma normalen till de två planen är vinkelrät mot båda linjerna. För att få fram normalen beräknar vi således kryssprodukten (här betecknad med #) av riktningsvektorerna för de två linjerna:
(1, 1, 1) # (2, -1, 0) = (1*(-1)-1*0, 1*2-1*0, 1*(-1)-1*2) = (-1, 2, -3)

En enhetsnormal till planen ges av
n = (-1, 2, -3) / |(-1, 2, -3)| = (-1, 2, -3) / √14

Planen har ekvationerna (* står för skalärprodukt/inre produkt)
P1: n * (x, y, z) = C1
P2: n * (x, y, z) = C2
där C1 och C2 är konstanter som skall bestämmas:

C1 = (-1, 2, -3) / √14 * (1, 2, 3) = ( (-1)*1 + 2*2 + (-3)*3 ) / √14 = -6 / √14
C2 = (-1, 2, -3) / √14 * (1, 0, 1) = ( (-1)*1 + 2*0 + (-3)*1 ) / √14 = -4 / √14

Avståndet mellan planen (och alltså mellan linjerna) ges av
|C2 - C1| = |(-4) / √14 - (-6) / √14| = 2 / √14 = √(2/7)

Vi ser att jag verkar ha lyckats hålla tungan rätt i mun under båda metoderna.

Imponerad till tusen... Min nya idol

Jävlar vad lustigt det här såg ut, så mycket text, siffror och tankearbete, men med ett så banalt, litet jävla svar. Varför är inte matematik enklare för?

Matematik är enkelt. Människor är komplicerade.

Det kan du säga till dem som hittade på fractional calculus! Det är allt annat än enkelt.

Underbar tråd, gammal också
Måste bara fråga, varför tar man gånger enhetsnormalen i planets ekvation?
I min bok står det endast normalen * (x, y, z) = 0 när planet är i origo.

När planet går genom origo utgörs planet av alla punkter vars koordinatvektorer (x, y, z) är ortogonala mot normalen n = (nx, ny, nz). Eftersom två vektorer är ortogonala om och endast om skalärprodukten är 0, ger detta (nx, ny, nz) * (x, y, z) = 0.

När planet inte går genom origo utgörs planet av alla punkter vars relativa koordinatvektor med avseende på en fix punkt P = (Px, Py, Pz) i planet är ortogonala mot normalen. Den relativa koordinatvektorn ges av (x, y, z) - (Px, Py, Pz). Ortogonaliteten mot normalen ger (nx, ny, nz) * ((x, y, z) - (Px, Py, Pz)) = 0. Detta kan skrivas om som (nx, ny, nz) * (x, y, z) = (nx, ny, nz) * (Px, Py, Pz). Högerledet blir en konstant som är beroende av planet, men inte av valet av fix punkt i planet.

Kan man använda derivata för att finna det kortaste avståndet mellan två linjer?

1. Kolla så att linjerna inte skär varandra.

2. Välj en punkt på varje linje, bilda en vektor v av dem.

3. Finn ett plan som en av linjerna ligger i och ta dess normal n.

4. Projicera v på n med projektionsformeln.

Har du något tips på mitt inlägg också? Tror nog inte Ts är intresserad av ett svar.