Gödels ofullständighetsteorem och lite allmänna frågor om metamatematik

Nu kanske metamatematiska frågor snarare är ett ämne som snarare bör läggas i matematik, jag är osäker därför ber jag i förväg om ursäkt.

Gödels första ofullständighetsteorem säger:
I varje motsägelsefritt formellt system som är tillräckligt komplext för att kunna beskriva aritmetik för naturliga tal, går det att formulera satser som varken kan bevisas eller motbevisas inom ramen för det formella systemet.

Gödels andra ofullständighetsteorem säger:
Inget "tillräckligt starkt" motsägelsefritt formellt system kan bevisa sin egen motsägelsefrihet.


Finns det något sätt för en icke-jättekometent människa att förstå detta eller att för den icke-jättekomeptenta människan bevisa ovanstående teorem?
Och om så är fallet, hur?
Hur definierar man motsägelsefri, formellt system?
Vad menar han med tillräckligt komplext och varför?

Om man nu är generellt intresserad av metamatematiska frågor, finns det någon som har några bra lästips att ge sig in på?
Bör man gå till källan och läsa gammla mossiga filosofer såsom Gödel eller finns det intressant bra och givande orienteringslitteratur?
Krävs det djupgående kunskaper inom logik för att förstå den litteraturen eller räcker det med en enkel förståelse hämtad ur en liten 5-poängare på universitetet?
Vad är intressant inom detta ämne och vilka finns det som har givit intressanta tillskott till detta?

Bevisidéer finns på Wikipedia

http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del's_incompleteness_theorem


Annan sida med sketch av bevisen

http://www.sm.luth.se/~torkel/eget/godel/theorems.html


Fullständiga bevis

http://home.ddc.net/ygg/etext/godel/
http://www.research.ibm.com/people/h...n00-goedel.pdf



Mycket om Gödel

http://www.math.hawaii.edu/~dale/god...Incompleteness


Orienteringslitteratur inom matematisk filosofi

The Mathematical Experience - Davis och Hersch: Samling korta essäer inom matematik, meta-matematik, logik, matematisk filosofi etc

Introduction to Mathematical Philosophy - Russel: Kort introduktion utan formler

Behövs inte särskilt mycket förkunskaper men med större matematisk mognad får du ut mer.


Intressant inom detta område, nyckelord och wiki-länkar

Kontinuumhypotesen, Paul Cohen, Zermelo-Fraenkel, Haltingproblemet, Whiteheadproblemet

http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis
http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo...kel_set_theory
http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Co...thematician%29
http://en.wikipedia.org/wiki/Halting_problem
http://en.wikipedia.org/wiki/Whitehead_problem

Jag nöjer mig med att svara med ett enkelt tack för länkarna och ger mig in och läser lite.

Men om formella system och dess definition då.
På wikipedia:


Är alla dessa nödvändiga och ihop men ej var för sig tillräckliga för att definiera begreppet formellt system?
Inom matemtiken har vi en finit mängd symboler (+,- osv) för att uppfylla det första kravet.
Vi har även en konvention, eller grammatik om man så vill, för att använda dessa symboler och därmed är krav två uppfyllt.
Axiom har vi tack vare Peano.
Inference rules? Vad är det egentligen, där brister nog min engelska.
Har jag gjort en korrekt tolkning av det hela?
Finns det några andra exempel på formella system än matematiken?

Kanske framstår som dumma frågor egentligen, men jag vill ju trots allt begripa satsen till fullo innan jag ger mig in på att läsa och förstå ett bevis för den.

Dagens kritiker av Gödels snart hundraåriga satser brukar bryta ner teoremet i betydelsefulla satser.
---------------------------------------------------------------------------------
Gödel säger först : "i varje motsägelsefritt formellt system". Kritikern definierar då först vad som avses med mostägelsefritt här, och sedan definierar han vad som avses med ett formellt system. Han bestämmer s a s definitionsmängden och värdemängden på det intervall som utsagan äger ett sanningsvärde.
-----------------------------------------------------------------------------------
Vidare säger Gödel: "som är tillräckligt komplext för att kunna beskriva aritmetik för naturliga tal". Då frågar sig kritikern vad som avses med "tillräckligt komplext" och var gränsen för denna tillräcklighet är definierad. Han låter sig inte nöjas förrän den tillräckliga komplexiteten är klarlagd.
------------------------------------------------------------------------
Även här frågar sig kritikern vad som avses med "tillräckligt starkt motsägelsefritt system" och var gränsen för denna motsägelsefrihet är definierad. Vidare hävdar Gödel att detta system inte kan bevisa sin egen motsägelsefrihet. Kritikern börjar med att fråga sig hur denna motsägelsefrihet fastställts från början ? Sedan går han vidare med att undersöka om det verkligen inte finns någon reciprocitet i utsagan, och om det på säkra grunder kan fastställas?
-----------------------------------------------------------------------------------
Således ställer kritikern Gödel mot väggen och tvingar honom att klargöra hur den initiala motsägelsefriheten bestämts från början ? Är denna motsägelsefrihet tillräckligt generell för att vara giltig inom definitionsmängden ? Hur ? Vilka är de empiriska resultaten av denna sats ? osv, osv,osv....

Två frågor!

1) Förstår du allt det där? Det är mycket logik inblandad dvs pure mathematics, samtidigt verkar du kunna en hel del Fysik/naturvetenskap, då är min andra fråga.
2) Hur kombinerar du dessa två på ett bra sätt (om du nu gör det)?

tack

1) Nej det gör jag inte. Om du tittar på böckerna jag länkade till så är de väldigt översiktliga och det är på den nivån jag kan förstå det, som lite mer teknisk populärvetenskap.
2) Se 1)...