Några synpunkter på begreppet "tid".

En singularitet i mitten, men det ligger även en het kaotisk yta längst händelsehorisonten.

Där är det ett väldigt strikt "change of perspective." Utifrån ser det ut som att saker smetas ut på den heta ytan, och det är den som strålar ut information från hålet. Men den som passerar händelsehorisonten märker inte av nåt sånt. (Holografiska principen ger ekvivalens mellan perspektiven.)

Ingen koll öht på vad liffen pratar om, men intressant om det gör att man slipper en sån strikt uppdelning av vad som är "verkligt" sett från olika observatörer.

brevvan skriver bra svar här.

Vill bara tillägga att koordinatsingulariteter även finns på väldigt mycket närmare håll: vid jordens poler med de vanliga längd och breddgraderna. På själva polerna blir ju en längdgrad noll i längd. 90°N10°E är ju samma punkt som t ex 90°N11°E. Och åker man rakt över Nordpolen på längdgrad 10°E så kommer man ut från nordpolen på längdgrad 170°W (om jag inte räknar fel). Dessa konstigheter beror förstås bara på att de vanliga koordinaterna är olämpliga just vid polerna, för det är ju inget speciellt med den verkliga geometrin där jmf m någon annan punkt på jordytan. Genom ett enkelt koordinatbyte slipper man alla konstigheter.

Händelsehorisonten vid ett svart hål har också en koordinatsingularitet som är hävbar på liknande sätt. Om man ramlar in i ett svart hål finns det inget speciellt med rumtidgeometrin vid själva händelsehorisonten. Händelsehorisonten ÄR förstås speciell ändå, eftersom inget som hamnar innanför den kan komma ut igen, men just det är inte något man skulle kunna uppleva i sitt rymdskepp. Att "tiden står still" på händelsehorisonten är precis samma sorts konsekvens av valet av koordinater, som att alla längdgrader är samma punkt på nordpolen.

Vilka koordinater för S^2 har du i åtanke för att slippa ’alla konstigheter’?

Kruskal–Szekeres t ex. Knepiga på andra sätt kanske, men inte mer så just vid händelsehorisonten.

För S^2? Tvåsfären?

Lol. Tänkte att du menade menade ds² i Schwarzschild och ville inte vara petimeter.

I S² kan kan man ju t ex ta samma sfäriska koordinater men bara lägga polerna på ekvatorn istället.

Annars är väl också stereografiska koordinater trevliga eftersom de är konformt plana, dvs med dessa blir metriken
ds² = f(x,y)(dx² + dy²)
där den konforma faktorn f(x,y) är en snäll funktion nära origo.

Åkej. Jag måste ha missuppfattat ’slipper alla konstigheter’ och/eller dina krav på ett koordinatsystem. Släpper det.

Vill också tillägga att detta inte stämmer. Du har rätt i att de blir olika för hastigheter nära c, men faktum är att de är olika för alla nollskilda rumtidsrotationer. Är rätt säker på att jag gått igenom det här tidigare men det var nog några år sedan, så vi kör det igen.

Säg att vi vill göra en rumtidsrotation som involverar x- och t-axlarna (motsvarar att ändra sin hadtighet i x-led) med rumtidsvinkel a. Om vi struntar i y- och z-koordinaterna för enkelhetens skull (de förblir oförändrade) så skulle i så fall motsvarande rotationsmatris se ut som

[cos(a), -sin(a); sin(a), cos(a)]

i din Euklidiska rumtid och

[cosh(a), sinh(a); sinh(a), cosh(a)]

i Minkowskirumtiden. Bara det att den ena innehåller trigonometriska funktioner och den andra hyperboliska gör det klart att de beter sig väldigt olika för godtyckliga rotationer, men för små är likheten större eftersom både cos(a) och cosh(a) då kan approximeras som 1, och sin(a) och sinh(a) som a. Den avgörande skillnaden är alltså snarare minustecknet som finns i den Euklidiska versionen, eftersom vi nu har

[1, -a; a, 1]

och

[1, a; a, 1].

Alltså: enda gången din Euklidiska metrik ger samma resultat som Minkowskimetriken är när man inte gör någon rumtidsrotation alls, och därefter blir överensstämmelsen bara sämre och sämre.

Har du någon synpunkt på den typen av change of perspective som beskrivs i inlägg #13?

Det heter black hole complementarity (wiki) för den som undrar var den hypotesen kommer från.

An infalling observer will see the point of entry of the information as being localized on the event horizon, while an external observer will notice the information being spread out uniformly over the entire stretched horizon before being re-radiated. To an infalling observer, information and entropy pass through the horizon with nothing strange happening. To an external observer, the information and entropy is absorbed into the stretched horizon which acts like a dissipative fluid with entropy, viscosity and electrical conductivity.

Vi kan naturligtvis definiera parametertid och koordinattid och beskriva vår omvärld i ett ortogonalt koordinatsystem. Och vi kan anta att det uppför sig enligt vår vardagliga intuition. Men omvärlden kanske har någon oväntad egenskap som gör att de samband vi härleder inte beskriver det vi tror att de gör. Man upptäckte att det var något fel med galileitransformen. Rumskoordinater verkade inte vara helt oberoende av tid. I lorentztranformen bytte man tecken på en faktor. Det gav det uppenbart felaktiga resultatet att avstånd till en början minskade med tiden. Mitt avstånd till en händelse minskade ju inte med tiden men avståndet till den bild av händelsen som närmade sig minskade med tiden. Minkowski-metriken beskrev alltså hur jag såg händelsen (men inte hur jag kunde påverka den).

Om man delar upp tid i parametertid och koordinattid kommer man till etervindbilden där vi färdas med ljushastighet i koordinattidsriktningen. Hastighet blir då en koordinatsystemvridning med v/c = sin a där a är vridningsvinkeln. Som du säger ger det samma resultat som minkowski-metrik så länge v << c. Och även våra snabbaste raketer har v << c. För hastigheter nära ljushastighet ger Minkowski-metriken en del konstigheter.

Jag förstår inte varför de blandar in entropi men som jag ser det säger de att för en utomstående betraktare blir lorentzkontraktionen noll vid händelsehorisonten. Då blir alla storheter som divideras med lorentzkontraktionen oändliga. Det kan man kalla att de smetas ut över händelshorisonten.

Ett bra exempel på att det är något fel på Minkowski-metriken.

Vi behöver en beskrivning av den värld som omger oss som är sådan att den överensstämmer såväl med våra vardagserfarenheter som med våra mätningar.

Om man delar upp begreppet tid i parametertid och koordinattid och utgår från vår vardagsupplevelse kommer man till det jag kallar "etervindbilden". Det innebär i princip att man vrider hela koordinatsystemet när man ändrar hastighet i stället för att som i relativitetsteori vrida tidsaxeln. I etervindbilden har alltså alla observatörer lika stor hastighet. Det som skiljer är hastighetens riktning.

Anknytningen till vår vardagliga intuition för euklidiska rummet är viktig. Det är ur den vi hämtar våra ideer om en bättre värld. Frågan är om vi kan finna en beskrivning som har denna anknytning utan att strida mot några mätresultat. Etervindbilden ger i många fall samma resultat som Minkowski-metrik.

Vår bild av verkligheten beror dels på hur verkligheten ser ut dels på hur vi observerar den. En gång i tiden trodde man att perspektivbilder var fel eftersom avlägsna avstånd blev kortare. Det blev de ju inte i verkligheten. Men perspektivbildens anknytning till vår vardagliga intuition har visat sig vara enormt användbar.

Den som vill kan ju fundera på hur världen ser ut för en observatör som svävar i en eter som blåser med ljushastighet i koordinattidsriktningen. Vilka möjligheter visar sig i en sådan bild? Kan vi realisera dessa möjligheter och använda dem? Är koordinattidsresor möjliga? Är de användbara?