Derivata / produkt

Hej
Uppgiften:
https://ibb.co/GTS8yLd
Facit:
https://ibb.co/ZX7VN8z

På b) så misstänker jag att två delta faktorer med delta x i nämnaren blir 0, medan en delta faktor blir derivatan om delta x är i nämnaren. Skulle vilja ha en förklaring till varför det är så.

På a) fick jag:
https://postimg.cc/8FjHK7W5

Det är rätt. \(\Delta x\) i nämnaren skapar derivata med funktionen i täljaren, en derivata som vi antar är begränsad och kontinuerlig för alla (intressanta) \(x\). En typisk term är t.ex.
\[
\frac{\Delta f\Delta gh}{\Delta x}
=\frac{\Delta f}{\Delta x}\cdot\Delta gh
\to f'\cdot 0 \cdot h
\]
då \(\Delta g\to0\) då \(\Delta x\to0\), givet \(g\) och \(h\) är begränsade och kontinuerliga.

Förstår inte riktigt

F g och h är ju funktioner av x
Delta x är en skillnad mellan två punkter
När delta x går mot 0 kommer även delta f eller delta g att gå mot 0. Då får man en tangent för en viss punkt på kurvan vilket är detsamma som derivatan.
Sedan tolkar jag två delta faktorer dividerat med delta x som att täljaren blir ännu mindre pga produkt av två mycket små faktorer vilket inte säger så mycket då det är i princip 0.

Har du exempelvis Δf*Δg/(Δx), så får du f'*Δg, där Δg går mot 0, vilket gör att hela uttrycket går mot 0.

Både Δg och Δf går väl mot noll?
Vaför blir bara Δf/Δx=f' ?

Du kan ju bara "kvitta" nämnaren mot ena termen i täljaren för att få f' (eller g'). Sedan har du Δg (eller Δf) kvar, som går mot 0, och därmed går hela uttrycket mot 0. Du har ju inget Δx kvar i nämnaren när du gjort exempelvis f'.

Ok, "kvitta" dvs skriva en term utanför bråket.
Så man är tvungen att göra på det viset?

Hur skulle du vilja göra då?

Jag undrade bara om det fanns andra metoder.
Men att "kvitta" verkar vara den bästa lösningen