Integralproblem i flervariabelanalys!

Hejsan flashback!

Jag pluggar flervariabelanalys på universitet och har fått en för mig omöjlig seminarieuppgift som måste in på fredag :O

Jag förstår att det krävs någon typ av variabelsubstitution osv.. Uppgiften lyder:

Lös trippelintegralen: (x^2+xy+y^2) dxdydz

Över klotet K med r=2 och centrum i origo.

Hoppas ni är smartare än mig

Skriv om till cylindriska kordinater, sätt


alternativt sfäriska kordinater

Tack för svar!

Jag förstår att jag ska skriva om det i sfäriska koordinater (iom att det är ett klot).

Integralen är dock alltför komplex att lösa för hand utan en variabelsubstitution. Men jag vet inte hur man gör

Byt variabler så att du klämmer ihop de elliptiska cylindrarna x^2+xy+y^2 = konstant till cirkulära cylindrar.
https://www.wolframalpha.com/input/?...2By%5E2++%3D+4

Jag hade bytt till sfäriska koordinater som MaxVSydow föreslår. Och då ska du byta integrationsmåttet enl
dx dy dz = J dr dθ dφ
där Jacobianen ges av
J = |∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ)| = r²sin(θ)
dvs
dx dy dz = r²sin(θ) dr dθ dφ ,
samt integrera r från 0 till 2, θ från 0 till π, och φ från 0 till 2π (i valfri ordning).

Du behöver inte substituera särskilt mycket. Tänk på trigettan...

Termen xy kan ignoreras av symmetriskäl (varför?).
Termen y^2 integrerad över området blir också av symetriskäl samma som x^2 termen integrerad över området (varför?).
Den sökta integralen blir alltså
integralen2x^2dxdydz
över klotet.
För given x koordinat blir snittet av klottet en disk med area (4-x^2)*pi.
Nu har du ett enkelt endim problem...

Bättre än mitt förslag.

Tusen tack! Nu fick jag ihop det, har du lust att förklara lite närmare hur y^2 + x^2 blir 2x^2? Ser det inte riktigt framför mig.