Hästar på grönbete

Självklart vet både du och jag och några till att det inte heter Hur stor procent!

Jag löste uppgiften. 3.6 eller ca 4% . För övrigt har jag nästan aldrig sett en tjudrad häst!

Som sagt, andra tider, annat språk. % = per centum = för varje hundrade ≈ hundradel så 'stor' är inte fel. Mera intressant, vilket framkom efter lite nätforskning, är att ISO 31 och Svenska språkregler föreskriver att det skall vara mellanslag före %-tecknet, medan andra språk har sina regler. T.ex. engelska har ej mellanslag vilket förklarar varför vi i Sverige ofta inte skriver mellanslag då vi är kraftigt influerade av engelska språket. Jag är själv skyldig till det. Vidare rekommenderas att %-tecknet endast används i tabeller likn. där utrymmesbrist kräver det och att man skriver ut "procent" i löpande text, något som de ofta inte gjorde i gamla skrivningar. Men, allt ändras med tiden. Om 10-20 år har vi andra regler än idag. Med tanke på hur ung domar sär skriver i dag är dessa grammatiska övertramp av ringa grad. Intressant nog förespråkar Språkrådet att 'cirka' förkortas 'ca' medan kyrka förkortas 'k:a'. Jag anser att 'cirka' skall skrivas 'c:a', men jag är nog i minoritet.

Du kanske kan skriva ut lösningen här, som komplement till tidigare approximation?

Ett gräsbevuxet fält har formen av en rektangel med sidorna 24 m och 10 m. Två hästar äro tjudrade i varsin ändpunkt av en diagonal i rektangeln. Vartdera tjudret är så avpassat, att hästen kan avbeta de delar av fältet, vilkas avstånd från tjudrets fästpunkt är lika med eller mindre än fältets halva diagonal. Hur stor procent av fältets yta kan inte avbetas?

Per Olssons båda hästar, Albert och Bertil, betar alltså i en rektangulär inhängnad med längden L = 24 m och bredden h = 10 m. Area: A₀ = L·h = 240 m².

När Albert och Bertil har betat av allt gräs de kom åt, släpps de ut i hagen, där de får roa sig bäst de vill. Per Olsson kliar sig i huve't och undrar hur mycket gräs som blev kvar i den gröna remsan, se Bild …

För att reda ut detta drar vi diagonalen OO' och får, med hjälp av Pythagoras sats, ut dess längd d = 26 m. Radien för cirkelbågarna i figuren blir alltså r = 13 m.

Dra vidare linjerna OP och O'P' för att avgränsa cirkelbågarna. Den avbetade arealen är nu uppdelad i två trianglar, med areor A och A', och två cirkelsektorer, med areor C och C' säg.

Trianglar
Triangeln OQP är, liksom O'Q'P, rätvinklig. Bestäm alltså sidolängden a för PQ med Pythagoras sats. Eftersom trianglarna OPQ och O'P'Q' är kongruenta får vi

A = A' = a·h/2 och, sammanlagt, A₁ = A + A' = a·h

Cirkelsektorer
Cirkelsektorn med centrum i O:
Sätt β = vinkel P'OP. En titt på figuren ger sin β = h/r, så

β = arcsin(h/r).

Med vinkeln uttryckt i radianer får vi nu

båglängden b = r β … och … sektorarean C = ½ r·b = r²β/2.
Den sammanlagda arean av de båda kongruenta sektorerna blir därmed

A₂ = C+C' = r²β.

Summering

Avbetad area: A₁ + A₂ = ah + r²β.

Resterande area: A₀ – (Av+A₂) = L·h – (ah+r²β).

Andel: [A₀ – (A₁+A₂)] / [A₁+A₂] = A0 /(A₁+A₂) – 1
= Lh / (ah + r²β) – 1 .

Det är rätt, fram till emot slutet. Vi söker
\[
\frac{A_0-(A_1+A_2)}{A_0}=\ldots=1-\frac{ah+r^2\beta}{Lh}.
\]
Numeriskt blir procentsatserna väldigt nära varandra, vilket är intressant.

Beroende på om detta var en Latin- eller Realuppgift bör lösningen variera. Ovanstående lösning lutar åt Realhållet men då kan vi gå hela vägen och svara endast i \(L\) och \(h\) och får
\begin{align*}
\text{Andel}
&=
\frac{2h(2L-\sqrt{L^2-3h^2})-(h^2+L^2)\arcsin\bigl(\frac{2h}{\sqrt{h^2+L^2}} \bigr)}{4hL}
\\&=
1-\frac{2h\sqrt{L^2-3h^2}+(h^2+L^2)\arcsin\bigl(\frac{2h}{\sqrt{h^2+L^ 2}} \bigr)}{4hL}.
\end{align*}

För \(L=24\) m och \(h=10\) m fås andelen till 0.0358884, d.v.s. 3.6 procent.

Ja, det har du rätt i. Man skall förstås jämföra den avbetade arean med den ursprungliga intakta arean. Jag blev väl trött i huve't mot slutet?

Äsch, menade nog att man borde jämföra den återstående gröna plätten med det helgröna startfältet.
Läggdags nu ...