Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
  1. Vetenskap & humaniora
  2. Fysik, matematik och teknologi
  3. Matematiska och naturvetenskapliga uppgifter

Lineär Algebra linjer och plan i rummet

Svara
  • 1
  • 2
2021-01-15, 22:00
  #1
AussieAce88
Medlem
tja, kan någon lösa denna.

Från punkten 1,1,1 skickas en ljusstråle i riktning -1,1-1 mot planet x+2y+3z=0
Ljusstrålen reflekteras sedan mot planet och träffar planet x+2y+3y=14 i vilken punkt?
Citera
2021-01-16, 00:38
  #2
prostetnic
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av AussieAce88
tja, kan någon lösa denna.

Från punkten 1,1,1 skickas en ljusstråle i riktning -1,1-1 mot planet x+2y+3z=0
Ljusstrålen reflekteras sedan mot planet och träffar planet x+2y+3y=14 i vilken punkt?

Ja. Har du själv försökt? Som jag ser det är det bara till att kavla upp ärmarna och räkna ut.
Citera
2021-01-16, 08:55
  #3
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av AussieAce88
tja, kan någon lösa denna.

Från punkten 1,1,1 skickas en ljusstråle i riktning -1,1-1 mot planet x+2y+3z=0
Ljusstrålen reflekteras sedan mot planet och träffar planet x+2y+3y=14 i vilken punkt?
Jag får
Kod: 
{-7, 15, -3}
Citera
2021-01-16, 11:26
  #4
MosterIBoras
Avstängd
Det som gör mig förbryllad är att planet ,

Kod: 
x+2y+3z=0

inte är samma plan som
Kod: 
x+2y+3z=14

men i alla fall,

Vi skriver linjen med hjälp av riktningen (parameterform ej unikt för linjer men vi väljer i detta fall
startpunken (1,1,1) och med riktningsvektor (-1,1,-1)

Kod: 
l: (1,1,1)+t(-1,1,-1)
där t något reellt tal. Vi kan skriva det som
Kod: 
 (x,y,z)=(1-t,1+t,1-t)

Vi söker punkten som ligger på linjen och i planet, det finns endast en sådant punkt om inte linjen faktiskt ligger i planet, då finns det oändligt många punkter.

Vi sätter in x,y,z i planets ekvation.

Kod: 
x+2y+3y=14

<=>
(1-t)+2(1+t)+3(1-t)=14
<=>
1-t+2+2t+3-3t=6-2t=14
<=>
-2t=8 
<=>
t=-4

Insättning t=-4 i linjens ekvation

(1,1,1)-4(-1,1,-1)=(5,-3,5).
Citera
2021-01-16, 11:35
  #5
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av MosterIBoras
Det som gör mig förbryllad är att planet ,

Kod: 
x+2y+3z=0

inte är samma plan som
Kod: 
x+2y+3z=14

men i alla fall,

Vi skriver linjen med hjälp av riktningen (parameterform ej unikt för linjer men vi väljer i detta fall
startpunken (1,1,1) och med riktningsvektor (-1,1,-1)

Kod: 
l: (1,1,1)+t(-1,1,-1)
där t något reellt tal. Vi kan skriva det som
Kod: 
 (x,y,z)=(1-t,1+t,1-t)

Vi söker punkten som ligger på linjen och i planet, det finns endast en sådant punkt om inte linjen faktiskt ligger i planet, då finns det oändligt många punkter.

Vi sätter in x,y,z i planets ekvation.

Kod: 
x+2y+3y=14

<=>
(1-t)+2(1+t)+3(1-t)=14
<=>
1-t+2+2t+3-3t=6-2t=14
<=>
-2t=8 
<=>
t=-4

Insättning t=-4 i linjens ekvation

(1,1,1)-4(-1,1,-1)=(5,-3,5).
Först sker en spegling/reflektion i "0-planet", ej "14-planet", därefter träffar strålen "14-planet".
Citera
2021-01-16, 11:36
  #6
MosterIBoras
Avstängd
Citat:
Ursprungligen postat av Math-Nerd
Först sker en spegling/reflektion i "0-planet", ej "14-planet", därefter träffar strålen "14-planet".

aha, missförstod uppgiften

men plottar jag planen i Geogebra och punkten A=(-7,15,-3) så ligger A inte i något av planen
__________________
Senast redigerad av MosterIBoras 2021-01-16 kl. 11:42.
Citera
2021-01-16, 11:44
  #7
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av MosterIBoras
aha, missförstod uppgiften

men plottar jag planen i Geogebra och punkten A=(-7,15,-3) så ligger A inte i något av planen
{-7, 15, -3} ligger i x+2y+3z=14
Citera
2021-01-16, 11:55
  #8
AussieAce88
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Math-Nerd
Jag får
Kod: 
{-7, 15, -3}

Jag får samma svar. Metoden jag använde var att först se vilken punkt ljusstrålen träffade planet(punkt P) sen spegla utgångspunkten i planet (S). Sen se när linjen genom P och S träffar det andra planet. Borde väl vara rätt metod?
Citera
2021-01-16, 12:02
  #9
MosterIBoras
Avstängd
Citat:
Ursprungligen postat av Math-Nerd
{-7, 15, -3} ligger i x+2y+3z=14

det gör "min" punkt också,

5+2*-3+3*5=5-6+15=14.

Det dock förvånande, en linje som inte ligger i ett plan kan väl bara om det skär planet göra det i endast en punkt???

Kod: 
Ligger (-7,15,-3) på linjen?

(1,1,1)+t(-1,1,-1)

1-t=-7
1+t=15
1+t=-3

ekvationsystemet saknar lösningar
adderar jag ekvation 1 till 2 får jag 
2=8
__________________
Senast redigerad av MosterIBoras 2021-01-16 kl. 12:07.
Citera
2021-01-16, 12:05
  #10
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av AussieAce88
Jag får samma svar. Metoden jag använde var att först se vilken punkt ljusstrålen träffade planet(punkt P) sen spegla utgångspunkten i planet (S). Sen se när linjen genom P och S träffar det andra planet. Borde väl vara rätt metod?
Det är en bra metod. Det finns flera, men din är bra.
Citera
2021-01-16, 12:07
  #11
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av MosterIBoras
det gör "min" punkt också,

5+2*-3+3*5=5-6+15=14.

Det dock förvånande, en linje som inte ligger i ett plan kan väl bara om det skär planet göra det i endast en punkt???
Uppgiften är typ "Kasta en boll mot ett plan, var träffar returen ett annat plan". Är det detta du räknat på?
Citera
2021-01-16, 12:12
  #12
MosterIBoras
Avstängd
Citat:
Ursprungligen postat av Math-Nerd
Uppgiften är typ "Kasta en boll mot ett plan, var träffar returen ett annat plan". Är det detta du räknat på?
Nja, bollen kommer alltid ha en viss rotation utöver den riktning som den kastas mot. Om du spelar biljard och spelar köbollen mot vallen kommer riktningen bero inte enbart riktning mot vallen utan också rotation på bollen. Drar du högerrotation på bollen kommer bollen retuneras med vänster rotation ifrån vallen.
Citera
Svara
  • 1
  • 2

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback