Citat:
Ursprungligen postat av
hajja123
En sak händer 140 gånger med sannolikheten att lyckas 1/3
Bin(n,p)=Bin(140, 0.3333). Beräkna approximativit P(42 ≤ X ≤ 75)
Hur ska detta beräknas approximativt?
Det är lite oklart vad dina beteckningar är men jag skulle gissa på att:
\(X_i\in\text{Bin}(1,\frac13)\), \(i=1, 2, \ldots, 140\).
\(S=\sum\limits_{i=1}^{140}X_i\in \text{AsN}\bigl(140\cdot \frac13,\sqrt{140\cdot \frac13\cdot \tfrac23}\,\bigr)=\text{AsN}\bigl(\frac{140}3, \frac{2 \sqrt{70}}{3}\bigr)\).
Vi söker (notera halvkorrektionen då en diskret fördelning approximeras med en kontinuerlig fördelning)
\[
P[42 \le S \le 75]
=
\Phi\Bigl(\frac{75+0.5-\frac{140}3}{\frac{2 \sqrt{70}}{3}}\Bigr)
-
\Phi\Bigl(\frac{42-0.5-\frac{140}3}{\frac{2 \sqrt{70}}{3}}\Bigr)
\approx0.822855.\tag{1}
\]
Den exakta sannolikheten är
\[
\sum_{i=42}^{75}\tbinom{140}{i}\bigl(\tfrac13\bigr )^i\bigl(\tfrac23\bigr)^{140-i}\approx0.822487.
\]
Notera att utan halvkorrektionen i (1) fås värdet 0.798608 vilket alltså är ett sämre närmevärde.