Sannolikhetsproblem - approximera binomialfördelning

En sak händer 140 gånger med sannolikheten att lyckas 1/3
Bin(n,p)=Bin(140, 0.3333). Beräkna approximativit P(42 ≤ X ≤ 75)

Hur ska detta beräknas approximativt?

Binomialfördelning kan approximeras med normalfördelning om np(1-p) >=10 vilket den är i ditt fall.

jo men det blir ju över 30

Men man kan ju räkna den med bin om man har en kalkylator, men då blir det ju ingen approximation...

det är det som gör det svårt

Det är inte så att du håller på med centrala gränsvärdessatsen, och ska använda kumulativa normalfördelningen för att få en approximation?

Det är lite oklart vad dina beteckningar är men jag skulle gissa på att:

\(X_i\in\text{Bin}(1,\frac13)\), \(i=1, 2, \ldots, 140\).

\(S=\sum\limits_{i=1}^{140}X_i\in \text{AsN}\bigl(140\cdot \frac13,\sqrt{140\cdot \frac13\cdot \tfrac23}\,\bigr)=\text{AsN}\bigl(\frac{140}3, \frac{2 \sqrt{70}}{3}\bigr)\).

Vi söker (notera halvkorrektionen då en diskret fördelning approximeras med en kontinuerlig fördelning)
\[
P[42 \le S \le 75]
=
\Phi\Bigl(\frac{75+0.5-\frac{140}3}{\frac{2 \sqrt{70}}{3}}\Bigr)
-
\Phi\Bigl(\frac{42-0.5-\frac{140}3}{\frac{2 \sqrt{70}}{3}}\Bigr)
\approx0.822855.\tag{1}
\]

Den exakta sannolikheten är
\[
\sum_{i=42}^{75}\tbinom{140}{i}\bigl(\tfrac13\bigr )^i\bigl(\tfrac23\bigr)^{140-i}\approx0.822487.
\]

Notera att utan halvkorrektionen i (1) fås värdet 0.798608 vilket alltså är ett sämre närmevärde.