Skulle behöva hjälp med en tröttsam homogen PDE-uppgift

Tjenamors, jag sitter just nu och försöker lösa en uppgift där begynnelsevillkoren beror av cosinusfunktioner av formen "cos(x)", och mina lösningssteg ser just nu ut så här (själva uppgiften är skriven högst upp på de fyra översta raderna):

https://i.ibb.co/frv2N4W/va.jpg

Det där sista steget känns inte riktigt rätt;
koefficienten Aₖ ska såvitt jag vet enbart bero av k, så det kan väl inte stämma att den beror av x på det där sättet?

Hur är matematik homogen?

Homogent problem med Neumann-villkor.

cos^3(x) = 3/4*cos(x) + 1/4*cos(3*x)

Alla koefficienter utom A_1 och A_3 borde väl bli noll.