1) Om det är billigt du vill ha så är det nog raspberry pi eller nåt begagnat som gäller. Det viktiga är att den klarar TVn's upplösning och åtminstone 60Hz utan lagg. Raspberry pi kan ha lite trubbel med det. Själv kör jag på en gammal laptop, med grafik i GTX 600 serien. Det räcker inte riktigt till och blir ganska varmt, men får i alla fall ut 1080p i 60Hz
2) Av alternativen Kodi, OpenELEC, LibreELEC, Plex tror jag de flesta funkar bra. Kan dock rekommendera Kodi, lätt att installera, många plugins för t.ex SVT play, Viafree och andra streamingtjänster. Youtube inbyggt osv. För torrents kan jag rekommendera Deluge, enkel och lättviktig, öppen källkod och webb gränsnitt.
På distro sidan spelar det egentligen ingen större roll vad du väljer. Debian är stabilt, resurssnålt och sköter sig själv, Arch kräver lite mer underhåll men du får snabbt tillgång till de senaste uppdateringarna, ubuntu, mint eller manjaro kan vara klokt om du är nybörjare på dethär med Linux