Lutande planet, funkar det hur långt som helst?

Denna tråd är lite samma tankegångar som i nedanstående tråd:

(FB) Hävstångsprincipen, gäller den med en "oändligt" lång hävstång?


Tänk att vi har en låda med ca 10 kg vikt i. Lådan står på ett plant golv. För att putta lådan längs golvet så krävs en viss minsta kraft. Sen har vi ett lutande plan, som är en meter högt och 4 meter långt. Vi placerar lådan längst ner på det lutande planet. Friktionen på det lutande planet är samma som friktionen på golvet.

Sen försöker vi putta lådan uppför det lutande planet, med exakt samma kraft som krävdes för att putta lådan längs golvet. Vi märker då (väl?) att den kraften inte räcker för att flytta lådan uppför det lutande planet.

Men så tänker vi på mekanikens gyllene regel: "det du förlorar i väg, vinner du i kraft". Alltså att om du förlänger det lutande planet (utan att öka höjden), då krävs det mindre kraft för att putta lådan uppför det lutande planet.

Frågan är nu om det funkar att förlänga det lutande planet hur långt som helst, och att den kraft som krävs för att flytta lådan uppför planet, då kommer minska ju mer du förlänger planet?

Om det funkar, då skulle det ju väl innebära att genom att förlänga det lutande planet, så kommer du kunna göra kraften som krävs för att flytta lådan uppför det lutande planet, så liten att den blir samma som den minsta kraft som krävdes för att flytta lådan längs golvet?

Men samtidigt kommer det ju fortfarande alltid vara en viss lutning på det lutande planet. Höjden som planet går upp mot, den finns ju alltid kvar där även om du förlänger planet. Och hur kan då (trots lutningen) den minsta kraft som krävdes för att flytta lådan längs golvet, vara tillräcklig för att flytta lådan uppför planet?

Och vad händer om man förlänger planet ännu mer, efter att kraften som krävs på planet har blivit lika med kraften som krävs på golvet? Blir det lättare att flytta lådan på det lutande planet då, än att flytta den på golvet?

Självklart inte. Om du förlänger ett platt golv oändligt långt blir det trots allt inte en magisk lutning.

Du ska nog inte ta "det du förlorar i väg, vinner du i kraft" allt för ordagrant i din fråga...
Du har glömt att vi har gravitation...

Det du glömmer är att när du knuffat lådan oändligt långt så är det fortfarande oändligt långt kvar att knuffa den. Så funkar tyvärr oändligheten.

Glömde också att du då kommit oändligt lite högre än den nivå du startade från och du har fortfarande uppförsbacke. Fast oändligt liten lutning på backen.

Det förstod jag, men frågan var tvungen att ställas i sammanhanget.

Om det sluttande planet är oändligt långt så blir lutningen oändligt nära noll men ändå mer än noll.

Motståndet blir oändligt nära motståndet utan lutning, men ändå mer än det.

Så här här blir det (om vi bortser från friktionen):

Kraften som krävs för att knuffa massan m uppför ett lutande plan är

F = mg*sin a,

där a är vinkeln mellan det lutande planet och horisontalplanet. Om det lutande planet har längden x och dess övre ända ligger på höjden h så bildas alltså en rätvinklig triangel där hypotenusan är x och motstående kateten till vinkeln a är h. Då gäller den från trigonometrin bekanta formeln

sin a = h/x,

vilket insatt i den första formeln ger

F = mg*(h/x).

För energin får vi då att

E = Fx = mg*(h/x)*x = mgh.

Energin som krävs är alltså oberoende av det lutande planets längd.

Fast höjden är i detta fall beroende av längden då längden är det som går i gräns.

Jag förstår tyvärr inte matematiken i det du citerar. Men för att förtydliga hur jag menar med min frågeställning i rubriken:

1. Du har ett lutande plan. Du släpper en järnkula från högst upp på det lutande planet, rakt ner till marken som det lutande planet står på. Kulan faller alltså fritt rakt ner till marken i vakuum. Du mäter kulans hastighet precis innan den når till marken.

2. Du släpper nu samma kula från högst upp på samma lutande plan, men du låter den nu rulla rakt nerför det lutande planet till marken. Även nu rör sig kulan i vakuum. Du mäter kulans hastighet precis innan den når till marken.

3. Du jämför de två uppmätta hastigheterna. Är de samma?

När kulan rullar nerför det lutande planet, då blir gravitationens verkan på kulans hastighet visserligen mindre än när kulan faller fritt rakt ner. Men samtidigt faller/rullar kulan en längre sträcka, och får därför mer tid att accelerera av gravitationen innan den når till marken, än när den faller fritt rakt ner. Så det borde jämna ut sig.

Sen får man förstås ta hänsyn till att kulan utsätts för friktion mot underlaget, när den rullar nerför det lutande planet, vilket den inte gör när den faller fritt rakt ner (i vakuum alltså).

Men min fråga är nu om det kan tänkas vara så att den "utjämnande effekten" (som uppstår när du förlänger det lutande planet, utan att öka höjden), att den avtar ju mer du förlänger det lutande planet utan att öka höjden. Så att det till slut blir så att kulan får mer och mer tid att accelerera av gravitationen pga den ökande sträckan, samtidigt som gravitationens verkan på kulans hastighet inte blir mindre i lika stor utsträckning längre, eftersom lutningen inte minskar lika mycket längre. Jag menar nu alltså när det gäller kilometerlånga lutande plan.

?

Som sagt, jag är inte bra på matematik, och jag vet väldigt lite om fysik.

Om kulan inte har någon friktion mot planet kommer de ha samma hastighet i de båda fallen.

Kulans potentiella energi omvandlas helt till kinetisk energi precis innan den når marken.

Kinetisk energi: E = (m * v^2) / 2

Givet att kulorna har samma massa, och ingen friktion, i de båda fallen kommer det resultera i samma hastighet tack vara energiprincipen.

Nej, höjden är konstant. Det är den andra kateten som förlängs då det lutande planet förlängs.