Bolzano Weierstrass-sats

https://en.wikipedia.org/wiki/Bolzan...strass_theorem

Bolzano Weierstrass-sats: Som jag har uppfattat denna sats så säger den att varje kompakt och begränsad talföljd har en konvergent delföljd. Där en kontinuerlig funktions värdemängd kan definieras som denna talföljd. Om vi låter A vara inf f(x) och B sup f(x) så kan vi nu börja med att definiera [A,B] som vår talföljd. Vi kan nu välja ut A < f(s) < B och låt f(s) = C. Vi kan nu Konstruera ett nytt intervall [A,C] och vi kan nu välja ut ett värde C1=(A-C)/2 och konstruera ett nytt intervall [C1,C]. Vi kan sen återupprepa denna process och får då en konvergent delföljd (som konvergerar mot C = f(s). Vi har då bevisat satsen.

Frågor: Är ovanstående korrekt? I bevisen så står det att vi kan alltid välja ut dessa "mellanliggande" värden då intervallen består av oändligt många element. Beror detta på att satsen är definierad på R och alltså innefattar oändligt många element? Detta borde ju inte gälla för exempelvis N?

[A, B] kan inte vara en delföljd; det är en överuppräknelig mängd.

Ok. Nu skrev jag inte att [A,B] var en delföljd utan en talföljd, men jag antar att samma resonemang följer på alla delintervall som jag konstruerade ovan då ett intervall i R innehåller oändligt antal element(?). I länken nedan så definierar man talföljden som Xn där n tillhör de naturliga talen, och Xn är lika med funktionsvärdet som man valde ut i det nya delintervallet. Är det detta som gör att vi kan konstruera en delföljd?

Se "alternative proof": https://en.wikipedia.org/wiki/Bolzan...strass_theorem

Som komplement till mitt svar ovan. Om jag förstått detta korrekt:
Vi har f(x) = x, i området x ligger i intervallet [0,1]. f(x) är begränsad. Vi konstruerar nu en växande talföljd, för detta intervall, ex a1=f(0) osv till an=f(1)=1. Där n går från 1 till oändligheten.

Vår talföljd är nu bunden, för all naturliga tal n: an <=1 för alla n. Satsen säger nu att vi kan finna en konvergent delföljd ur denna talföljd. Vad jag inte förstår är varför detta inte gäller även för en icke bunden talföljd. Låt oss ta f(x) = x för alla reella x (0,1) istället. Varför kan jag då inte välja exempelvis delföljden som består av an för x =[1/2, 3/4]? Är det för att vi inte kan konstruera en växande talföljd av den öppna mängden (0,1)?

Av att döma vad du skriver så verkar du inte riktigt ha koll på terminologin, inte för att jag vill vara elak, men ingenting du skrivit i denna tråd känns vettigt. Jag råder dig att du kollar upp vad en talföljd är samt vad det betyder att en talföljd är begränsad.

Ok!

Detta är min uppfattning av vad en talföljd är: En följd av tal, där vi betecknar det n:te talet som a_n.
Att denna talföljd är begränsad innebär att sup (inf) a_n existerar ändligt; det finns något tal M => |a_n| för alla n i talföljden.

Om ovanstående är korrekt så vore jag tacksam för en förtydling av vad manne menade med att [A,B] ej kan vara en talföljd. Om vi låter A = 0, B=1 samt f(x) = x med definitionsmråde [0,1]. Kan jag då definiera en talföljd utifrån detta intervall?

1. Jag förstår att detta går om jag väljer ut exempelvis 10 st funktionsvärden och definierar dessa som a_1,a_2 etc i växande ordning. Men kan jag definiera en talföljd för hela intervallet?

Ja det är korrekt att det är vad en talföljd och vad det innebär att den är begränsad innebär. Det är alltså uppräkneligt oändligt många tal i följd.

Vad menar du med att definiera det utifrån intervallet? Menar du att det ska vara en följd där alla element i följden tillhör intervallet? I sådana fall går det bra att göra det. Men du kan inte göra en följd som antar alla värden i intervallet. Detta eftersom [0, 1] innehåller överuppräkneligt många tal, men en talföljd bara innehåller uppräkneligt många.'

[0, 1] är alltså inte en talföljd, det är ett intervall. Vi kan inte säga att något är det första, det andra, det tredje, osv talet i detta intervall, det kan man alltid göra i en talföljd.

Begränsad innebär alltså inte att den befinner sig i ett slutet intervall, att vara obegränsad är inte heller samma sak som att en befinner sig i ett öppet intervall.

Ja detta med uppräkneligt har jag inte stött på tidigare, men jag ser nu att jag missförstod definitionen av Intervallinkapslingssatsen (som används för att bevisa Bolzanos sats).
Men nu tror jag att jag förstår, låt se:

Låt I_k = [a_k,b_k], k=1,2..., vara en avtagande följd av slutna intervall, då konvergerar båda följderna a_k och b_k. Där k går från 1 till oändligheten. Jag missförstod detta (när jag skapade tråden) som att [a_k,b_k] var en talföljd! Men det är alltså att intervallet självt som är ett element i talföljden I_k. Stämmer detta?

Fråga 2:
Du skrev "Det är alltså uppräkneligt oändligt många tal i följd.", jag antar att du inte menar att en talföljd måste ha oändligt antal element? Jag kan väl definiera en talföljd med bara ett par element?

Dock så blir Bolzanos sats förståelig ifall en talföljd har oändligt antal element - och varför den inte gäller om en talföljds konvergens kan definieras med endast ett ändligt antal element. Så det är väl så att ifall vi talar om att en talföljd konvergerar då har denna talföljd oändligt antal element. Men Bolzanos sats säger att varje bunden talföljd har en konvergent delföljd? Hur funkar detta om talföljden har ett ändligt antal element?

Ja det är korrekt att de menar att följden består av intervall, det är inte intervallet som är en följd.

Det är korrekt att en följd kan ha ett ändligt antal element. Men när det kommer till analysen och pratandet om gränsvärden och liknande, så är det nästan uteslutande att det är ett oändligt antal. Som här när du har Bolzanos sats så kommer det vara så att den avser en oändlig följd och den har inget att göra med ändliga följder.

Ok. Då tolkade jag detta "The theorem states that each bounded sequence in Rn has a convergent subsequence" lite för bokstavligt. Men ja min största förvirring var helt klart det här med att en talföljd alltså måste bestå av en uppräkneligt oändlig mängd - och att detta då exempelvis kan vara talföljden a_n där n går från 1 till oändligheten. Men det kan ej vara intervallet [0,1].

Avslutande följdfråga: I beviset för Bolzanos sats så börjar man med en bunden talföljd x_k (vi kan säga -1 och 1). Sedan definierar man en talföljd; där I_1=[-1,1] och delar sedan intervallet på hälften och väljer den hälft som har oändligt antal element i talföljden x_k på denna hälft, man definierar sedan denna hälft som I_2, osv. Initialt förstod jag inte varför inte varför vardera hälft skulle ha oändligt antal element (i och med att jag antog att intervallet var en talföljd, så när vi delar upp ett reellt intervall så innehåller naturligtvis båda sidor oändligt antal element). Men i och med att det är talföljden x_k vi väljer med avseende på, så hade det kunnat vara så att x_k endast överstiger 0 för (exempelvis) x_2, och därför är endast ena sidan innehållandes oändligt antal element.

Är ovanstående korrekt?

Ja det du skriver tycker jag låter helt korrekt.

Ok. Ja det jag menade med mitt exempel var exempelvis denna talföljden a_k: a_1 = 1 och a_n= -1 när n går från 2 till oändligheten. Delar vi sedan intervallet I_1=[-1,1] på hälften så får vi att a_k innehåller 1 element på ena hälften och oändligt på den andra. Och vi kan sedan finna en konvergent delföljd, osv.

Ett hjärtligt tack för hjälpen, det var verkligen en nödvändig vägvisare! Kan vara klurigt med definitioner ifall man saknar vissa förkunskaper som utelämnats i definitionen. Det där med uppräkneligt hade jag aldrig hört talats om.