Orsakade inflationen tidsdilatation?

Ok.

Så vad sker då med tiden om expansionen går så fort att avstånden ökar fortare än ljusets hastighet eller en kollaps som minskar avstånden fortare än ljusets hastighet, förutsatt att det är rymd som skapas eller förintas och inte rörelse?

Det beror på vilka avstånd du avser.
Redan nu så expanderar rymden snabbare än ljusets hastighet i de bortre delarna av det universum vi kan se. Men det händer inget med tiden där borta för borta hos "dem" så är det ju vi som avlägsnar oss snabbare än ljusets hastighet relativt "dem".
Och vi har väl inte upptäckt mig veterligen att något hänt med tiden.

Du är inne på en teori/hypotes som brukar benämnas Big Rip.

https://en.wikipedia.org/wiki/Big_Rip

Vid en accelererande expansion skulle all materia i slutändan slitas sönder.

Skulle tippa att vid en implosion så hade materien förvandlats till singulariteter d.v.s. svarta hål som sedan slås ihop till ett enda jättelikt sådant.

Troligen kan man nog säga att tiden upphör i båda fallen då tid är relaterad till entropi.
Om det inte finns någon energi/massa som är mätbar i ett rum som inte existerar längre enligt vår uppfattning är det svårt kan jag tycka att kunna hävda att tid kan existera.

Men det sista är en svår fråga och jag svarar bara "på känsla".
Tid är ju något mången god fysiker och filosof funderar på om den ens existerar.

Precis. Massorna rör sig inte när rummet expanderar, så den effekten är inte applicerbar. Tidsdilatation är ett lokalt fenomen i den meningen att det beror på hastigheten massorna har i relation till andra i dess "inertial frame of reference".
Alltså, tidsdilatation gäller hastighet genom rummet, inte med rummet.(något mer komplicerat men i princip)

Vet inte vad Alcubierre drive är, men utifrån kontexten så gissar jag att det är en sån där maskhålsdrift där man kröker rummet för att förflytta sig. Om så så nej, tvärtom tänker jag så borde snarare en sådan motor inte ge någon tidsdilatation alls när den förflyttar sig eftersom den egentligen inte förflyttar sig i rummet utan flyttar rummet omkring en.
Om det är en sådan motor, en warpdrive som använder sig av "negativ massa" och skumma hypotetiska saker som förlitar sig på gravitation och då negativ gravitation, som då blir tryckande alltså, så kommer den ändå inte kunna förflytta något snabbare än ljusets begränsningar inom samma lokala inertial frame of reference som de flesta av lustigheterna gäller inom. Har dock inte tänkt på det något djupare så skjuter från höften nu.

Det är så jag också brukar tänka. Jag har dock hört att vissa har en annan åsikt om saken men de har aldrig gett några detaljerade förklaringar utan bara generaliserat från faktisk rörelse till förändrat rum utan att förklara varför.

Menar du varför relativ rörelse leder till skillnader i tid? Detaljerad förklaring finns här:
https://www.youtube.com/watch?v=toGH5BdgRZ4
Eller här:
https://www.youtube.com/watch?v=3enwR6e9V9A