Gäller verkligen "Humes lag" eller är den helt enkelt fel?

Inser att ordvalet 'objekt' kanske inte var riktigt adekvat, skulle nog ha skrivit så här istället:

∀x∀y(∀P(Px ↔ Py)→x=y)

för alla x och y, om x och y har samma egenskaper så är x identisk med y. Om vi då anser att x och y kan ha samma egenskaper utan att vara identiska med varandra så är substitution inte möjlig. Dock förefaller ett sådant antagande som orimligt, men anser vi däremot att antagandet är rimligt så förändrar det matematiken, vilket torde vara ganska uppenbart.

Det kanske var det du upptäckte nu, att pilen gick åt fel håll, snarare än ngt ordval?

Men vad är problemet med substitutionen egentligen, om nu inget predikat kan skilja x och y?

Jo, jag märkte det.


Nej, det är inget fel med substitution utan det var mest bara ett exempel på hur ett antagande skulle kunna påverka matematiken.

Ja, men om man har a och b sådana att P(a) omm P(b) för varje predikat P, eller mer generellt om det för varje formel F(x) utan förekomst av "=" med en fri variabel gäller att F(a/x) omm F(b/x) hur skulle det bli? Det skulle fungera överallt utom där "a=b"?

"P(a) omm P(b)" säger oss inte så mycket. Det enda det ger uttryck för är att a är P om och endast om b är P men varför ska a vara P om och endast om b är P?

Vi måste definiera vad vi menar med '=', och det vi menar med a=b är att a och b representerar samma matematiska objekt. När är något samma matematiska objekt då? Jo när ∀x∀y(∀P(Px ↔ Py)→x=y). Men om vi anser att detta inte alltid gäller, d.v.s. att ∃x∃y(∀P(Px ↔ Py)→x≠ y) också är en möjlighet hur vet vi då när a och b är samma matematiska objekt? Om det finns åtminstone ett a så att a ≠ a så kan vi inte använda oss av substitution om vi vill vara säkra på att vår slutsats ska vara sann.

Jag tror inte det skulle vara så katastrofalt med "indiscernibles" som inte är identiska. Vi kan naturligtvis fortfarande bevisa att 2+2=4 och en massa andra identiteter, ja alla identiteter som har bevisats skulle vara giltiga. Det är ju inte så att ett bevis av att a och b är identiska går igenom alla satser med en fri variabel... av flera olika skäl. Hur skulle indiscernibles som inte är identiska leda till ett bevis av a ≠ a?
Det kan ju vara så att det finns matematiska objekt som vi på nuvarande stadium av matematikens utveckling inte kan skilja åt med de begrepp och ramar som finns nu till vårt förfogande men som ändå därför inte är identiska. En illustration av detta kan man se i mängdläran där, under antagande om existensen av ett stort kardinaltal, kan visa att det finns indiscernibles i det konstruerbara universum som är en modell av mängdläran.

Jag skulle vilja slå ett slag för att Hume har fel, och Aristoteles har rätt. I många fall kan man härleda bör från är. Många företeelser har inbyggda mål (telos). Ta till exempel begreppet sjökapten, vilket jag skulle vilja säga har inbyggt i sig konceptet att navigera till sjöss. Det ligger implicit i begreppet att en bra sjökapten kan navigera till sjöss, och om sjökaptenen inte kan navigera till sjöss så är det ingen bra sjökapten. Här tycks bör följa från är. När någon säger att "Den här sjökaptenen är så jävla dålig" så råder det ingen tvivel om att personen i fråga menar att sjökaptenen saknar de egenskaper som gör en bra sjökapten.


Fler exempel:

En bil ska man kunna ta sig runt med, om bilen inte vill starta så är det en dålig bil. Den har misslyckats med att fullfölja sin "bilhet" om man så vill.

En läkare ska kunna läka och behandla människor, därför bör t.ex. en läkare inte vara blind, döv eller lida av vanföreställningar.

Om a = 1 och b = (2/2) vilket medför att a och b har samma egenskaper (a och b representerar samma matematiska objekt – i det här fallet talet '1'), men om det är möjligt att a ≠ b där a och b har samma egenskaper så är det även möjligt att 1 ≠ 1 eller a ≠ a. Då 1 har samma egenskaper som 1. Vi gör det ännu mer tydligt, a = 1 (a har exakt samma egenskaper som talet 1 har), b = 1 (b har exakt samma egenskaper som talet 1 har) medför detta a = b eller a ≠ b? Vi vet inte då vårt antagande inte säger något om vilka egenskaper det är som medför att a ≠ b. Det enda antagandet säger är att det finns åtminstone ett (kanske fler) a,b så att a och b har samma egenskaper men a är inte lika med b. Om vi anser att ett sådant antagande är sant så kan vi avgöra huruvida det är

a = b

som är sann eller om det är

a ≠ b

som är sann.

Ja, du kanske har helt rätt, kan inte säga att jag följer dig här riktigt. Ska det vara ngt "inte" som saknas?

Det hela är förstås avhängigt av hur man tänker sig de här matematiska objekten, hur man tänker sig att det matematiska språket relaterar till dem, ja t o m hur man tänker sig egenskaper och relationer dels mellan språkliga element och dels mellan de matematiska objekten i sig.
Är 1=2/2? Eller ska det vara 1/1=2/2, är vi i fraktionskroppen till Z? Är det samma etta som i Z?
Om vi håller oss till Z som abelsk grupp (enbart addition alltså) kan man om man kisar lite se att 1 och -1 är indiscernibles, det finns en automorfi som skickar 1 till -1. Vilken är vilken om vi tror att det finns ett matematiskt objekt för "1" och ett annat för "-1"? Eller är det bara ett objekt för både "1" och -1". Alla ekvationer behåller sitt sanningsvärde i Z som abelsk grupp om vi skiftar.
Ja, du håller säkert inte med om detta...

Gulgul, kan inte se att identiteten mellan en sak med sig själv kan faila "bara" för att principet där inte håller. Och sen håller principet antagligen, fast... kanske inte om vi snackar faktiska predikat. Kan du förklara lite närmare varför det inte skulle hålla? Tycker att diskussionen är spännande, och har alltid tänkt att någon variant av satsen stämde.

Landar som så ofta annars i semantik och begreppshantering. Vad avses med är och bör i just detta sammanhang? Gäller alla eventuella former av är och bör? Det är ju inte speciellt svårt att konstruera en mening där ett bör kan härledas från ett är (med full insikt om att Hume inte just avsåg denna konstruktion):

Lisa är mörkrädd - alltså bör man ej släcka lampan.

Frågan är nu om "släcka-lampan-handlingen" kan anses bära ett normativt värde? Är det en moralisk laddad handling att förhålla sig till huruvida lampan ska vara tänd eller släckt?

Ja, David Hume avsåg inte att matematikerna skulla börja förvirras av hans lag. Det är en lag inom moralfilosofin, och den kräver modala operatorer i ett modallogiskt resonemang; för att upphöjas till lag. Dessutom utgår lagen från från 1700-talets högre borgerlighet, och dess moraliska giltighet är därför inte omedelbart överförbar till vår egen tid.