Plotta kovariansellips till tillstånd

Om jag har ett tillstånd (x,y) och tillhörande kovarians P (en 2x2-matris), hur plottar jag tillståndet i xy-planet tillsammans med ellipsen som illustrerar kovariansen? Frågan är egentligen bara hur jag får fram ellipsen från informationen i P-matrisen.

Om du bara har en variabel x med uppskattat värde xm och kovarians s^2 så får du gränsen för n standardavvikelser från (x-xm)^2/s^2=n^2 med lösningarna x=xm±n*s.

Liknande gäller även för fler dimensioner men då blir det med matrisräkning. Det som ska ersätta 1/s^2 är inversen av kovariansmatrisen, V^(-1), och punkterna r=(x,y) som ligger n standardavvikelser från rm=(xm,ym) (eller med fler komponenter zm etc) ges av lösningen till

(r-rm)*V^(-1)*(r-rm)† = n^2

(Att denna ekvation är rimlig kan man se i det diagonala fallet, där den förenklas till (x-xm)^2/sx^2+(y-ym)^2/sy^2=n^2.)

Detta ger en implicit relation mellan x och y, dvs en kurva (eller yta i 3d-fallet etc), som är en ellips (eller ellipsoid etc).

För en del ritprogram (t ex på min grafräknare) räcker detta för att rita ut en ellips. Men har man inte det kan man t ex lösa andragradsekvationen för y (med två lösningar, en för översidan och en för undersidan, som funktioner av x).

(För fler dimensioner än 2 bör man nog hellre räkna ut ellipsoidens orientering och storaxlar genom att räkna ut egenvektorer och egenvärden för V^(-1) etc.)

Tack! Och det du kallar V här, är det kovarianser för de skattade tillstånden, eller är det kovariansen för innovationen y - Cxhat (om man pratar i termer av Kalmanfilter...)

Nu blir jag ärligt talat lite brydd. Kalmanfilter är inte helt obekanta för mig men då måste jag läsa på. Den här sortens matematik har jag närmast plockat upp från finansteori - t ex om hur optioner och andra derivat värderas enl Black & Scholes när deras värden beror på aktier och index etc som antas ha en stokastisk utveckling.

Jag förstår. Tänkte efter lite själv och insåg att det måste vara kovariansen av skattningen och inget annat eftersom det handlar om osäkerheten i nuvarande skattning och inte alls har att göra med framtida tillståndsskattningar.

Jag jobbar med signalbehandling och målföljning av objekt med hjälp av sensordata. Tycker det är väldigt intressant hur det ämnet korsar vägarna med finansiell matematik på det här sättet.