Minimum i diff integral med euler. Varför samma svar?

Hej,

Jag gjorde en uppgift med att minimera integralen från 0 till 1, utav (x^2+x'^2) med villkoret x(0)=1 och x(1) fri. Vi kallar denna integral för F(x). Fick fram med euler och diff-ekvation att svaret för maximum är x=2e/(1+e^2).

Sen gjorde jag en uppgift där vi ska minimera x_A, där x(0)=1 och x(1)=A, med samma integral.
Man ska även undersöka hur V(A) påverkar maximum, där V(A)=F(x_A), genom att studera derivatan. Så med euler och insättning av x_A i F(x_A) osv. För att undersöka satte jag sen derivatan till noll och får att A har samma värde som x i första uppgiften. Varför?

Det står alltså så här på slutet som jag inte kan lösa.
Extra: explain why one might call V'(A) the shadow price of x at time t = 1. Use this to solve the corresponding problem with no restriction on x(1). Compare the result to that of the previous exercise.

Jag frågade min lärare och han sa typ: Det räcker att förklara varför du får samma svar som i första.

Jag förstår inte vad det är för skillnad på dessa två uppgifter. Eller så förstår jag inte exakt hur uppgifterna ser ut.

Egentligen ingenting. Man får krångligare ekvationer i den andra delen. Annars inget.

Vad jag undrar är mer om shadowprice och hur det hänger ihop typ?!

Om inget skiljer är det ju inte konstigt om det blir samma svar.


Hur kan det bli krångligare ekvationer om uppgifterna inte skiljer sig åt?

Jo, villkoret är olika.

I första är x(1) fri i andra är x(1)=A. Så man får ju andra ekvationer lixom. Men samma optimering.

Vad betyder x' i "(x^2+x'^2)" ?
Kan du skissa hur du kommer fram till "x=2e/(1+e^2)" ?

Derivatan.

Man söker den funktion x : [0, 1] → R som minimerar eller maximerar integralen I(x) ≡ ∫ (x(t)² + x'(t)²) dt givet randvillkoret x(0) = 1 samt eventuellt x(1) = A.

En sådan uppgift löses genom att man antar att man har en lösning x(t) och studerar integralen för en närliggande funktion x(t) + λ η(x), där λ är en parameter (oberoende av t) och η(t) är en deriverbar funktion som uppfyller η(0) = η(1) = 0. För fix funktion η blir integralen I(x+λη) då en funktion av bara λ och eftersom det är antaget att denna har ett extremvärde då λ = 0 ska gälla att (d/dλ) I(x+λη) = 0 för λ = 0. Genom litet derivering under integralen samt partiell integration får man fram en differentialekvation som måste gälla. Så för att hitta en lösning till extremering av en integral, löser man en tillhörande differentialekvation.

Om I(x) = ∫ L(x(t), x'(t), t) dt så ges differentialekvationen som ska lösas av (d/dt)∂L/∂x' = ∂L/∂x.

I det aktuella fallet är L(x(t), x'(t), t) = x(t)² + x'(t)², vilket ger
∂L/∂x = 2x, ∂L/∂x' = 2x', (d/dt)∂L/∂x' = 2x''
så att differentialekvationen blir 2x'' = 2x, dvs x'' = x.

Lösningarna till differentialekvationen ges av x(t) = a e^t + b e^(-t).

Randvillkoret x(0) = 1 ger a + b = 1, så lösningsrummet reduceras till x(t)= a e^t + (1-a) e^(-t).

I den ena uppgiften har vi även randvillkoret x(1) = A som ger a e + (1-a) e^(-1) = A, dvs
a = (A - e^(-1)) / (e - e^(-1))
vilket ger lösningen
x_A(t) = (A - e^(-1)) e^t / (e - e^(-1)) + (e - A) e^(-t) / (e - e^(-1))
= (A (e^t - e^(-t)) + (e^(-(t-1)) - e^(t-1))) / (e - e^(-1))
= (A 2 sinh(t) - 2 sinh(t-1)) / (2 sinh(1))
= (A sinh(t) - sinh(t-1)) / sinh(1).

Sedan skulle man beräkna själva integralen och minimera den m.a.p. A.

V(A) = ∫ (x_A(t)² + x_A'(t)²) dt

V'(A) = ∫ (2 x_A(t) ∂x_A(t)/∂A + 2 x_A'(t) ∂x_A'(t)/∂A) dt
= ∫ (2 (A sinh(t) - sinh(t-1)) sinh(t) + 2 (A cosh(t) - cosh(t-1)) cosh(t) ) dt / sinh(1)²
= 2 ∫ ( A (sinh(t)² + cosh(t)²) - (sinh(t-1) sinh(t) + cosh(t-1) cosh(t) ) dt / sinh(1)²
= 2 ∫ ( A cosh(2t) - cosh(2t-1) ) dt / sinh(1)²
= 2 [ A cosh(2t) - cosh(2t-1) ]_0^1 / sinh(1)²
= 2 [ (A cosh(2) - cosh(1)) - (A cosh(0) - cosh(-1)) ) / sinh(1)²
= 2 ( A (cosh(2) - 1) - (cosh(1) - cosh(-1)) ) / sinh(1)²
= 0 om A (cosh(2) - 1) - (cosh(1) - cosh(-1)) = 0 dvs om
A = (cosh(1) - cosh(-1)) / (cosh(2) - 1) = 0 eftersom cosh(-1) = cosh(1).

Integralen minimeras alltså då x(1) = 0. Funktionen är då
x(t) = - sinh(t-1)/sinh(1) = sinh(1-t)/sinh(1).

Integralens värde blir
V(0) = ∫ (x(t)² + x'(t)²) dt = ∫ (sinh(1-t)² + cosh(1-t)²) dt / sinh(1)²
= ∫ cosh(2-2t) dt / sinh(1)² = [-sinh(2-2t)/2]_0^1 / sinh(1)²
= (-sinh(0)/2 + sinh(2)/2) / sinh(1)² = sinh(2) / (2 sinh(1)²)

Verkar jag ha gjort rätt, Muggrulle?

OK, då är jag med. Variationskalkyl alltså, som brukar användas vid härledningen av Euler-Laganges ekvationer.

Hade svårt att se den kopplingen när jag läste första inlägget.