Laurent-serier och gränsvärden för uttryck där x→∞.

Jag kikade på matte-tråden i underforumet för uppgifter. Nån hade postat ett gränsvärde: lim x→∞ sqrt(f(x))-g(x) där funktionerna var polynom. Jag råkade upptäcka att taylor-utvecklingen av sqrt(f(x)) runt x→∞ (kallas även "laurent-utvecklingen" vad jag förstått) både hade +g(x) som term och även en konstant term (följande termer på formen (x^-n)→0). Den konstanta termen var gränsvärdet för sqrt(f(x))-g(x) då x→∞.

Min fundering är alltså om man kan lösa gränsvärden genom att använda laurent-utvecklingar? När funkar det? Fyll gärna på med funderingar.

Exempel:
sqrt(x^4+x-x^2) kan laurent-utvecklas genom att skriva om den med substitutionen x=1/y och sen taylor-utveckla runt y=0 och man får som svar, efter återsubstitution: x^2 - 1/2 + O(1/x). Gränsvärdet för sqrt(x^4+x-x^2) - x^2 då x→∞ råkar även vara -1/2.

Nja. Skillnaden är egentligen att en Taylorserie är en potensserie med endast positiva koefficienter medan en Laurentutveckling har både positiva och negativa koefficienter. Jämför
[; f(z) = \sum_0^\infty C_n \left( z - z_0 \right)^n ;]
och
[; f(z) = \sum_{-\infty}^\infty A_n \left( z - z_0 \right)^n ;]
(En Maclaurin-utveckling får man förresten genom att sätta [; z_0 = 0 ;] i Taylorutvecklingen.)

Om funktionen f(z) är analytisk inom området |z - z₀| < R så har Taylorutvecklingen R som konvergensradie. Om funktionen f(z) är analytisk inom området r < |z - z₀| < R så är Laurentutvecklingen konvergent inom samma område. I och med att man kan tänka sig att man har en singularitet i origo så inser man snabbt varför Laurentuvecklingar är lite mer kraftfulla än Taylors diton. Man kan för övrigt visa att Laurentutvecklingen är unik (se exempelvis wiki), varför man ofta kan plocka samma koefficienter som i motsvarande Taylorutveckling. (Det är ju det du gör i ditt exempel.)


Rent spontant känns det ju som att det måste fungera så länge du kan göra alla manipulationer (bortsett från gränsdragningen då) i ett område där Laurentutvecklingen konvergerar, vilket alltså innebär ett område inom vilken funktionen ifråga är analytisk.

Det här är förresten bara ett fall av många där det kan löna sig att, under beräkningen, göra funktionen komplex istället för reell och använda metoder och resultat från komplexanalysen. Den är inte intuitiv alla gånger, men ofta kraftfull.

Ja ok, jag googlade lite efter taylorutveckling "vid oändligheten" och på en sida föreslog någon att det kallas laurentutveckling. De blandade även in Riemann-sfären i samma diskussion, och det handlar väl om att oändligheten blir en punkt på komplexa talplanet? Har tyvärr inte läst så mycket komplex analys.

Ok, jag tyckte det verkade lite märkligt att gränsvärdet "dyker upp" när man utvecklar på det viset; att gränsvärdet vid oändligheten så att säga är en del av serie-utvecklingen "vid oändligheten." Det kanske visar sig vara ganska naturligt om jag funderar ett tag till.

Det låter som ett intressant ämne; synd att tid och pengar är av märkbart ändlig karaktär.

Tack för ett bra svar!

Jo, om man vill definiera något i stil med en "Taylorutveckling vid oändligheten" så får man använda sig av Laurentutvecklingar och en inverterad variabel y=1/x. Det fungerar ju inte så bra att skriva [; \left( x - \infty \right)^n ;] direkt. Däremot innebär inte en Laurentutveckling per automatik en Taylorutveckling vid [; x = \infty ;], utan den kan vara kring vilken punkt som helst i det komplexa planet.

Riemannsfären kommer väl in för att det är ett ganska trevligt sätt att se att den "vanliga" oändligheten motsvarar en punkt i det komplexa talplanet, och att vi därmed kan transformera den till origo genom y=1/x.


Aha! Så det var det som var frågan alltså. Nå, det finns ju lite krav på det, bl.a. att funktionen f(x) ska ha ett gränsvärde då [; x \rightarrow \infty ;] (den här metoden borde inte funka något vidare för sin x till exempel). Matematikerna på forumet kanske orkar leta fram de specifika kraven.

Men annars är det väl inte helt onaturligt? För ett ändligt tal a kan vi bilda en Taylorutveckling runt a, med egenskapen
[; \lim_{x\rightarrow a} f(x) = \lim_{x\rightarrow a} \left[ f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2} (x-a)^2 + \dots \right] = f(a);]
dvs. gränsvärdet är en del av serieutvecklingen. Och i de fall man kan definiera en serieutveckling vid [; z = \infty ;] känns det inte helt omöjligt för min del att gränsvärdet då blir en del av den på samma sätt som för ett ändligt a.



Ah, det eviga problemet.