Partiell integration, substitution?

Hej, jag sitter med tre integraler som jag inte riktigt lyckas lösa. Svaren har jag (via facit), problemet är hur jag går tillväga för att lösa integralerna? Förklara gärna, jag vill förstå! Uppenbarligen rör det sig om partiell integration och i vissa fall u-substitution.

Formeln för partiell integration: ∫f(x)·g(x) = F(x)·g(x) - ∫F(x)·g'(x) dx

1) ∫(5x+3)·√(8-2x) dx
Min ansats: ∫(5x+3)·√(8-2x) dx
= 5x²/2+3x·√(8-2x) - ∫(5x²/2+3x)·-(8-2x)^(3/2)/4
= 5x²/2+3x·√(8-2x) + 1/4∫(10x²+12x)·(8-2x)^(3/2)
= ???

2) ∫sin(4x)·cos(x) dx
Min ansats: ∫sin(4x)·cos(x) dx
= sin(x)·sin(4x) - 4∫sin(x)·cos(4x)
= Fortsätter jag med partiell integration kommer jag tillbaka till ∫sin(4x)·cos(x), förvisso med -1/4 som koefficient. Borde jag typ substituera in det i originalet på något sätt?

3) ∫x^16·e^(x^8·√x)
Här får man ett tips om att göra substitutionen u = x^8·√x. Sen kommer jag inte längre?

Egentligen innehåller dessa uppgifter integrationsgränser och sånt, men jag är endast intresserad av hur man kommer fram till en analytisk lösning av integralerna. Seriöst, det verkar som jag har missat ett par grundläggande saker när det gäller partiell integration? Tips och hjälp uppskattas!

Låt g(x)=5x+3 och f(x)=√(8-2x). Vad blir då F(x) respektive g'(x)?

Ja. Om vi kallar den sökta integralen för I kommer du få ett uttyck liknande I=....sin/cos något... -(1/4)*I. Du kan nu lösa ut I ur sambandet.

Vad blir du/dx?

F(x)=-2/6*(8-2x)^(3/2) och g'(x)=5?

Alltså:
∫(5x+3)·√(8-2x) dx
= -10/6*(8-2x)^(3/2)*(5x+3) + 10/6∫(8-2x)^(3/2)
= (30-50x)/6*(8-2x)^(3/2) + 10/6*(-2/10*(8-2x)^(5/2))
= (30-50x)/6*(8-2x)^(3/2) - 2/6*(8-2x)^(5/2))
?
Okej, tack!

∫x^16·e^(x^8·√x)
u = x^8·√x
du/dx = 17/2*x^(15/2)

Jag tänker mig att man skriver om det till du = 17/2*x^(15/2) dx och ersätter
∫x^16·e^(x^8·√x) dx
med ∫x^16·e^u du
och x^16 ska på något sätt skrivas om till 17/2*x^(15/2) (en faktor kanske?)

Sätt u = √(8-2x) så att x = 4 - u²/2 och dx = -u du.
Då blir 5x+3 = 5 (4 - u²/2) + 3 = 23 - 5u²/2 och integralen övergår alltså i
I = ∫(23-5u²/2)·u (-u du) = ∫(5u^4/2 - 23u²) du = u^5/2 - 23u³/3 + C.

Återsubstitution ger nu
I = (1/2)(8-2x)²√(8-2x) - 23(8-2x)√(8-2x) + C.

Ärlig fråga: hur ser man något sånt här? Det är ju både elegant och (relativt) enkelt på samma gång. Jag hade på känn att det fanns en bättre lösning än att hålla på att fippla med algebra hit och dit. Men återigen, hur ser man att denna substitution kan göras? Finns det några generella riktlinjer, t.ex. om f(x) och g(x) båda innehåller liknande polynom så kan nåt liknande göras?

Framförallt:
Om en funktion såsom sin, cos, exp, sqrt, innehåller ett uttryck i argumentet, pröva att införa en ny variabel som är lika med detta uttryck.

I det aktuella fallet skulle vi enligt detta ha fått u = 8-2x, men jag insåg att det lika bra att köra med u = √(8-2x) eftersom vi då får bort kvadratroten helt och bara får polynom.

Stort tack för tipset! Löste även 3) ∫x^16·e^(x^8·√x) med inspiration från din metod. Den enda frågan som jag har kvar att lösa är
2) ∫sin(4x)·cos(x) dx. Jag försökte med partiell integration två gånger i följd men antingen funkar det inte eller så har jag slarvat med algebran. Jag funderade även på om man skulle kunna dra till med en substitution, men återigen gick jag bet... Vad är det jag missar?

Eller så blir du ställd av att du får tillbaka samma integral som du började med och inser inte att du faktiskt kan utnyttja detta.

∫ sin(4x) cos(x) dx = sin(4x) sin(x) - ∫ 4 cos(4x) sin(x) dx
= sin(4x) sin(x) - ( 4 cos(4x) (-cos(x)) - ∫ (-16 sin(4x)) (-cos(x)) dx )
= sin(4x) sin(x) + 4 cos(4x) cos(x) + 16 ∫ sin(4x) cos(x) dx

Alltså,
∫ sin(4x) cos(x) dx = sin(4x) sin(x) + 4 cos(4x) cos(x) + 16 ∫ sin(4x) cos(x) dx.

Från detta kan vi dra slutsatsen att
15 ∫ sin(4x) cos(x) dx = - ( sin(4x) sin(x) + 4 cos(4x) cos(x) ),
dvs
∫ sin(4x) cos(x) dx = - (1/15) ( sin(4x) sin(x) + 4 cos(4x) cos(x) ).

Jo, jag såg det tidigare att integralen återkom men jag måste ha utvecklat termerna rejält fel eftersom min uträkning inte alls stämde överens med din. Hur som helst, ett rejält tack ska du ha!

Jag kan förstås ha gjort fel, men jag kollade genom beräkningen flera gånger eftersom jag började fundera över om jag gjort ett teckenfel (lätt hänt med minus i både formeln för partiell integration och minus som dyker upp vid antiderivering av sinus).