Varför övergår man inte inte till talsystem som kan byggas på logik ?

Enligt Kurt Gödel (som var matematisk realist) så har de olika talsystemen en egen existens som vi upptäcker egenskaperna hos.

Ur en fullständig beskrivning av något av de oändliga talsystemen kan man härleda en kontradiktion och denna upptäckt var på sin tid en stor överraskning.

Ur de ändliga talsystemen som datorerna använder kan ingen kontradiktion härledas och de är liksom första ordningens predikat logik motsägelsefria (konsistenta).

Att räkna med ändliga (men i övrigt godtyckligt stora) talsystem skiljer sig inte mycket från dagens räkningar men de saknar kanske de singulariteter som fantasifulla teorierna om Svarta hål och Big Bang förutsätter. En matematik byggd på logik har naturligtvis logikens begränsningar och saknar därför "finkulturell" skönhet.

Vilket talsystem bygger inte på logik, menar du?

Alla talsystem är logiska och neutrala. Det finn ingen kontradiktion.

Man la ner logicismen efter Gödels sats.

Vill du att vi ska ändra symbolerna för våra siffror? Vilka symboler skulle du då föredra som är mer logiska?

Konsekvenser av Gödels två teorem är att det finns matematiska påståenden om mängden av hela tal (Z) som varken kan bevisas eller motbevisas, och att det inte går att bevisa att matematik som innefattar Z är motsägelsefri (konsistent). Teoremen är bevisade med klassisk logik, men det kan finnas logiska system, lika giltiga som den klassiska logiken, där Gödels teorem inte gäller.

I en logik som bara har utfallen 'sann' och 'falsk' hamnar många matematiska idéer i ett gränsland eftersom egentligen bara konstruktioner som kan förverkligas kan betraktas som 'sanna', medan t ex idéer som har med oändligheten att göra är omöjliga att testa fullt ut. Med klassiska logiska resonemang är det därför egentligen bara datorernas matematik som är helt invändningsfri.

En logik som inte bara har utfallen 'sann' och 'falsk' utan kanske även utfall som 'konsistent', och som utarbetats på ett vettigt sätt till en 'sann' matematisk teori (ändlig och möjlig att förverkligas t ex i datorer), kan medföra andra möjligheter.

Gödels påvisade motsägelsen i en fullständig beskrivning naturliga talen (stryker man induktionsaxiomet så kan talsystemet beskrivas inom första ordningens predikatlogik vilken är logisk konsistent) och alla talsystem där dessa är en delmängd.


Men för att ta ett lättare exempel än Gödels. De ändliga decimalbråken ka ha hur många decimaler som hels och de oändliga har hur många som helst vilket logiskt sett är samma sak som att säga att de oändliga decimalbråken är en delmängd av de ändliga! Jämför (Begåvade mäniskor kan ha en IQ högre än 130. Mänskliga genier har en IQ över 130. Alltså mänskliga genier är en delmängd av begåvade människor.

Eftersom det även gäller att de rationella talen (= ändliga decimalbråk) är en delmängd av de reella talen så har vi ett problem:

Om nu de irrationella talen (de som har hur många decimaler som som helst) är en delmängd av de rationella (de som kan ha hur många som helst) och de reella talen är unionen av rationella och en delmängd av dessa så blir mängden av rationella och mängden av reella tal samma mängd.

Gödels problem går att komma runt våra datorer är byggda på logik och använder endast tal med ett begränsat antal siffror (inte enbart av logiska skäl utan även av begränsningar i deras fysiska minnen - oändliga decimalbråk finns enbart i människans fantasi - något jag inte vet om Gödel insåg)

Tja den liggande åttan och punkterna som vi använder när vi skriver 1 = 0,9999... borde kanske strykas och ersättas med gement omega (symbolen för godtyckligt men ändligt stort tal) och delta (symbolen för ett godtyckligt men ändligt litet tal)

De irrationella talen är inte på något sätt en delmängd av de rationella talen, deras snitt är ju den tomma mängden. Dessutom har både rationella och irrationela tal oändliga decimalutvecklingar (se en tredjedel, 0.333...).

Men det verkar som att du använder konstiga definitioner. Är de rationella talen mängden av alla reella tal vars decimalutveckling slutar i 0:or och de irrationella de som inte gör det och är mindre än något fixt stort tal?

I så fall gäller ju uppenbarligen inte varken att de irrationella talen är en delmängd av de rationella eller att unionen av de rationella och irrationella är de rationella talen, och ännu mindre att det skulle vara dem reella talen.

Biten om rationella/irrationella tal har redan behandlats så jag svarar bara på detta:
Känner du till begreppet "catastrophic cancellation"? Är du medveten om att det konceptet inte finns utanför datorernas värld? Och om du känner till det, tycker du att det är mer önskvärt att leva med än tre punkter och en liggande åtta?

Edit: För övrigt, när har Gödel sagt något om oändliga decimalutvecklingar?

Att säga att de irrationella talen är en delmängd av de rationella är lika dumt som att säga att de jämna är en delmängd av de udda.



TS:

Har du en aning om vad du babblar om, eller har du bara läst något som du försöker citera?

Jag tror att TS menar att man klarar sig bra med ett godtyckligt stort men ändligt antal heltal, med vilka man kan bilda ett än större men också ändligt antal rationella tal vilka kan göras till godtyckligt bra approximationer av vilka reella tal som helst. I datorer och i vetenskapliga beräkningar klarar man sig bra med sådana talmängder. Vad som går förlorat är det matematiska maskineriet inom analysen.

TS talmängder har den fördelen att de bevisligen är konsistenta.