Axiom och satser implikationspilar

Någon som kan reda ut följande, och gärna ge ett illustrerande exempel?

Först tänker vi att vi utgår från några begrepp och säger att de är "sanna" (axiom).

Genom bevis kan vi definera satser. Alltså gäller detta?

Giltigt axiom medför sann sats. 1

Giltigt axiom är ekvivalent med sann sats. 2


Jag vill påstå att 1 är sant men inte 2.
Min motivering är att man bevisar satserna ur axiomen. Satserna är alltid sanna, (om beviset inte går att ifrågasätta). Däremot behöver inte 2 vara sann eftersom satserna bygger på axiomen.

Vad tycker mer kunnigt folk om detta? Hade en diskussion om detta idag och ingen av oss i diskussionen kunde knyta detta till ett exempel som lätt går att förstå. Min motpart sade att jag tänkte helt fel eftersom om axiomet är fel är även satsen falsk. Jag menar att med ett korrekt bevis blir satsen "sann".

Hänger ni med? Hur kan man tänka? Vem har rätt? Eller har ingen rätt?

Per definition kan ett axiom inte vara falskt.

Om vi sätter upp ett axiom som vi anser är uppenbart falskt, t.ex. -1 = 1, så innebär detta att vi inte får vår vanliga aritmetik utan vi hamnar i en alternativ aritmetik. Axiomen definierar vårt matematiska universum.