Statistik problem

Hej, har kört fast på en statistikuppgift. Säkert inte jättesvår men jag ser inte riktigt hur jag ska lösa den. Är inne åp at tpå något sätt använda centrala gränsvärdessatsen, och därmed kunna approximera till en normalfördelning. Men skulle behöva en mer detaljerad lösningsgång. Gärna med svar också...

Någon som kan hjälpa till att lösa den?
Tack på förhand!

Uppgift:

Låt X1,...,Xn vara oberoende, lika fördelade slumbvariabeler med väntevärde E[Xi] = µ och varians
Var(Xi) = σ^2.

Låt Xn = 1/n *(Σxi) (summa tecknet summeras från j=1 till n)

Hur stort måste n vara så att P(|Xn-µ|<2σ)=0.99?

Är du säker på att du angivit uppgiften korrekt? (Skulle kunna tänka mig att likhetstecknet på sista raden skulle kunna vara ett större eller lika med och du skulle då kunna lösa uppgiften m.h.a. Chebychevs olikhet).

Annars kan du testa med att låta P(X_i=-10)=P(X_i=10)=1/2 vilket innebär att likheten aldrig uppfylls eftersom sannolikheten på sista raden är lika med 1 för alla n.

Hej, tack för ditt påpekande. Jag extra checkade uppgiften och nedersta raden skall vara:

p(|Xn-µ|<2σ)=0.99

Så likhetstecknet står där, men går det inte att lösa alls då??

Testade att lösa talet, men fick just n=1, vilket verkar skumt då centrala gränsvärdessatsen gäller om n är tillräckligt stort...

Låt säga att et är en felskrivning, hur löses uppgiften om det skulle vara <= istället, och vad blir svaret?

Tack på förhand

Ingen som vågar sig på ett försök på uppgiften?

Har som sagt kört fast rätt rejält och deadline närmar sig..

mvh/

Om vi antar att frågan är "hur stort måste n vara så att P(|Xn-µ|<2σ) >= 0.99?".

Vi har att
E[Xn]=µ
och
Var(Xn)=σ^2/n.

Vidare säger Chebychevs olikhet att vi har en stokastisk variabel Y med väntevärde µ och standardavvikelse σ så gäller det för varje a>0 att
P(|Y-µ| >= a) <= σ^2/a^2.

Dvs för problemet ovan har vi att

P(|Xn-µ|<2σ)=1-P(|Xn-µ|>=2σ) >= 1-(σ^2/n)/(2σ)^2=1-1/4n.

Således behöver n vara 25 för att olikheten i uppgiften ska uppfyllas.

Tackar så mycket för svaret, tror att detta kommer hjälpa.

/R

Standardlösningen på en sådan uppgift är att använda central limit theorem, precis som du var inne på.

Satsen säger att X_n konvergerar mot en normalfördelning med väntevärde µ och varians σ^2/n, eller ekvivalent att (sqrt(n)/σ)(X_n - µ) konvergerar mot en N(0,1). N(0,1) är att föredra för att slå upp i tabeller.

P(|X_n - µ| < 2σ) = P( sqrt(n)/σ |X_n - µ| < 2σ * sqrt(n)/σ ) = P(|Z| < 2sqrt(n) ), där Z är approximativt N(0,1)-fördelad.

För att få sannolikhet 0.99 kollar man upp 0.5%-kvantilerna för normalfördelningen, och får att 2sqrt(n) = 2.58. Då blir n = (2.58/2)^2.

Edit: Ändrade lösningen och svaret blev mycket litet. CLT är ingen bra approximation för så små n. Någon får gärna kommentera...

tertep:
Den lösningen känns helt ok. Kan man säga att den är bättre att använda sig av, än via Chebychevs olikhet? I såfall, varför?

För de ger ju lite olika svar...

Chebychevs ger n=25 medan via CGS ger n = (2σ^2/2.58)^2

Tack för inputen! /R

I lösningsförslaget presenterat av tertep görs antagandet att Xn är normalfördelad (med hänvisning till CGS). Detta antagande kan ifrågasättas, särskilt då det uträknade svaret ger ett såpass litet n att CGS knappast kan gälla för annat än fallet då Xi är normalfördelad.

Om vi istället använder Chebychevs olikhet behöver vi inte anta något annat än det som finns angivet i uppgiften (om vi fortfarande antar att det står >= istället för = då det är den enda rimliga tolkningen av uppgiften).

Din lösning, med Chebychevs olikhet, visar bara att olikheten p(|Xn-µ|<2σ)>=0.99 gäller om n = 25. Inte att n behöver vara 25 för att det ska gälla.


Det här är en dåligt formulerad fråga. För det första så kommer likheten troligtvis inte gälla för något n, eftersom n rimligtvis måste vara ett heltal. Så den rimliga tolkningen är

Hur stort måste n vara så att P(|Xn-µ|<2σ) ≥ 0.99?

Då är problemet att vi inte har fått reda på fördelningen av X_i. Svaret beror troligen på fördelningen. Hur ska man då tolka frågan? Det rimliga är

Vilket är det minsta n, sådant att det för alla fördelningar av X_i, med medelvärde µ och varians σ², gäller att P(|Xn - µ| < 2σ) ≥ 0.99?

...___...:s lösning visar att svaret är högst 25, ty n=25 fungerar.

Om man då kan visa att n=25 är det minsta som fungerar, t.ex. genom att konstruera en fördelning så att P(|X_24 - µ| < 2σ) < 0.99, så skulle vi vara klara. Jag är dock inte övertygad om att n = 25 är rätt svar. Frågan känns faktiskt ganska svår.

dbshw: Intressant frågeställning.
Som jag förstår är det inte fel att säga att n=25, men att vi inte är säkra på att det är ett helt korrekt svar, då det mycket väl kan vara ett tal som är mindre än 25 som eftersöks.

Håller även med om att frågan i sig är lite kneptigt formulerad, kanske jag som missade något i översättningen, men tror inte det.

Samtidigt känns som sagt det mer ok att använda Chebychevs olikhet än centrala gränsvärdessatsen, då n troligen är rätt litet och inte tillräckligt stort för att kunna approximera via CGS.

/R