Matematiska frågor om lagar, satser och dess härledningar (Gymnasiet)

Lösningar bör ges utan användning av någon linjär algebra. Frågorna är rangordnade i hur stort mitt behov är att få svar på frågorna. Fråga 1 är alltså mest viktig för mig.

1. Arean av en rektangel
Vad kommer detta från egentligen? Är det en definition? För med hjälp av detta kan vi använda oss utav integraler och hitta areor för de mest skumma figurerna. Men det förutsätter att vi vet arean av en rektangel. Är detta ett axiom? Vad är det egentligen? Jag har försökt att svara på frågan och skulle gärna vilja veta, mest för att jag är nyfiken.

2. Potenslagar
Varför heter det potenslag? Man brukar inte tala så mycket om lagar i matematik. Hur konstrueras alla potenslagar? Jag har sökt en hel del men hittar sällan vettiga svar. Hur många definitioner behöver man och vilka axiom används? En länk hade också varit bra.

Hur sker utvidgningen till irrationella exponenter ut? Samma egentligen med rationella. Det känns som elever inte får en chans att egentligen lära sig någonting om potenslagar i gymnasiet och i princip ingen gymnasielärare kan det själv heller.

3. Räta linjer och vinkelräthet
Hur bevisar man att k_1*k_2 = -1 om och endast om linjerna är vinkelräta mot varandra. k_n är riktningskoefficienten för den n:te räta linjen i R^2. Viktigt är som sagt att vi inte inkluderar skalärprodukt och liknande som jag skrev längst upp i tråden. Jag har dessutom svårt att få till "om och endast om". Jag kan (nog) visa att om de är vinkelräta så är produkten -1, men inte att produkten är -1 endast då.

4. Derivatan av a^x
Utan att använda derivatan av invers eller liknande. Jag hittar verkligen inget vettigt.

Det var nog allt, haft funderingarna ett tag och nu hade jag tillräckligt många så det blev en tråd. Hoppas på massa svar och diskussioner, här kan nog fler än bara jag lära sig ett och annat!

Stort tack på förhand!
/BengtZz

Intressant tråd. Den ska jag hålla koll på.

Jag skulle tro att det bara är en språkförbistring. När man tittar på den engelska sidan för potenslagar heter det ingenting med lagar. Jag minns inte hur de irrationella ser ut, men de rationella ser ut på följande sätt:

x^(a/b) = (b:te roten ur (x))^a

Ledsen för klumpig notation.




Visa gärna ditt bevis för vinkelräthet. Det är möjligt att omvändningen är enkel att bevisa.

Den normala härledningen är:
D[a^x] = D[(e^(ln a))^x] = D[e^((ln a) x)] = (ln a) e^((ln a) x) = (ln a) a^x
Använder potenslagar, derivatan av e^x samt kedjeregeln.

Jag hävdar att det är ett axiom för area. Så anser även Wikipedia:
http://sv.wikipedia.org/wiki/Area#Definition

a^n definieras först för n = 1, 2, 3, ...

"Lagar" härleds.
a^n utvidgas till n = 0, -1, -2, -3, ... utifrån vad regeln a^(m+n) = a^m * a^n föreslår:
a^0 = 1
a^(-n) = 1/a^n

a^n utvidgas till rationella exponenter utifrån vad regeln (a^m)^n = a^(m*n) föreslår:
a^(p/q) = x så att x^q = a^p.
Notera: vi måste begränsa till a ≥ 0.

Sats: Funktionen n → a^n är kontinuerlig (för rationella n).
a^n utvidgas till irrationella n utifrån ovanstående sats:
a^x = lim a^(r(n)) då r(n) → x.

Utvidgningen till komplexa exponenter (och komplexa baser och rationella exponenter) utgår från den polära framställningen z = r e^(i(t+n2pi)):
z^x = r^x e^(ixt+inx2pi) för x reellt,
z^iy = e^(-y(t+n2pi)) e^(i(ln r)y) för y reellt,
z^(x+iy) = z^x * z^iy.

Vi fick som uppgift att definiera potenslagarna utifrån logaritmlagarna, och logaritmlagarna utifrån potenslagarna, på ett seminarium i höstas. På så sätt är det troligt att man accepterar i ena fallet logaritmlagarna som axion men i andra fallet potenslagarna som axiom.

Beror på vad du menar med "eller liknande", men vi har ju

f(x) = a^x.

"e älskar ln" ger att

f(x) = e^(ln(a^x).

Logaritmlagen om nedspark av exponent ger att

f(x) = e^(ln(a)*x).

Derivatan av e^x ger att

f'(x) = ln(a)*e^(ln(a)*x).

Vi sa att

e^(ln(a)*x)

var det samma som

a^x

varför

f'(x) = ln(a)*a^x.

En annorlunda (men i slutändan förstås likvärdig) approach än den manne1973 skriver ovan:

Vi börjar med att definiera exp medelst dess potensserie:

Def: exp x := 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

Det är lätt att visa att gränsvärdet existerar för alla x.

Sats 1: exp(x+y) = exp(x)exp(y).
[Detta kan visas genom att trunkera potensserierna för exp(x) och exp(y), multiplicera ihop dem, och visa att gränsvärdet av produkten blir just potensserien för exp(x+y).]

Sats 2: exp(x) > 0 för alla reella x.
[Bevisskiss: Det är lätt att se att exp(x) > 1 för alla x > 0. Av ovanstående följer att exp(-x) = 1/exp(x), vilket också är positivt, om x är positivt.]

Sats 3: exp(x) är deriverbar med derivata exp(x).
[Bevisskiss: Det man behöver göra är att visa att det går att derivera varje term i potensserien för sig. Men detta är okej, ty konvergensen av serien av derivator är lokalt likformig.]

Kor 4: exp(x) är sträng växande.
[Detta följer direkt av Sats 2 och 3 samt medelvärdessatsen.]

Sats 5: Värdemängden för exp(x) (när x varierar över de reella talen) är (0, ∞).
[Bevisskiss: Av Sats 2 vet vi att värdemängden är en delmängd av (0, ∞). Genom att notera att exp(1) är större än 1, och sen använda Sats 1, så får vi att exp(n) går mot ∞ när n går mot +∞, och mot 0 när n går mot -∞. Av satsen om mellanliggande värden följer då att exp(x) antar alla värden i (0, ∞).]

Kor 6: exp : R -> (0, ∞) är en bijektion.
[Detta följer av Kor 4 och Sats 5.]

Def: Vi definiera ln: (0, ∞) -> R som inversen till exp.

Nu så söker vi definiera a^x, närhelst a > 0 och x är ett reellt tal. Vi vill att den ska uppfylla följande potenslagar:

(i) a^0 = 1
(ii) a^1 = a
(iii) a^(x+y) = a^x * a^y
(iv) a^x är kontinuerlig i x.

(En definition av a^x som uppfyller (i)-(iii) ovan kommer nödvändigtvis uppfylla att a^n = a * ... * a (n faktorer) när n är ett naturligt tal.)

En möjlig definition är följande:

Def: a^x = exp(x * ln(a)).

Sats 7: Detta uppfyller villkoren (i) till (iv) ovan.
[Det här är ganska lätt att visa.]

Sats 8: Ovanstående definition av a^x är den enda som uppfyller (i) - (iv) ovan.
[Bevisskiss: Antag att vi har en annan definition av a^x. Låt a vara fixt, och låt f(x) = ln(a^x). Då är f(x+y) = f(x) + f(y). Se sedan http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy's_functional_equation.]

Den sista satsen här tjänar alltså som motivation för vår definition.

Så här såg det ut, bevis av potenslagar resp. logaritmlagar, uppgift 1 och 2

https://www.kth.se/social/upload/4e8c90caf276545410000000/sem4.pdf

Okey 4:an borde jag knäckt efter lite eftertänksamhet. I princip bara kedjeregeln och derivatan av e^x, och den följer ju av ett standardgränsvärde.

Asså dbshw du snackar om gränsvärden, trunkeringar, konvergenser, begreppet oändlighet. Random gymnasieelev vet _inte_ vad dom begreppen innebär. Tror tråden gick ut på att försöka hitta en förklaring på gymnasienivå? =)

Mycket bra förklarat! Även om tillvägagången känns onaturlig för mig, mycket bra! Jag borde ju tänkt på omskrivningen egentligen, gör ju det nästan dagligen i analysen. Accepterar man kedjeregeln och att derivatan av e^x = e^x så är saken biff.

Tack så mycket!

Ja det är nog lite overkill. I vilket fall lär jag mig en del. Jag tycker det är bra ändå, skall läsa lite mer om det och ställa frågor. Nyss hemkommen från gymmet så då är datorn perfekt.