Matematiska frågor om lagar, satser och dess härledningar (Gymnasiet)

En annan är att börja med att definiera ln(x) = ∫{från t=1 till t=x} 1/t dt för 0 < x, visa att denna är bijektiv och därmed inverterbar, sätta exp = ln^(-1) och a^x = exp((ln a) x). Potenslagarna kan visas utifrån integrationslagar.

Jag har på senare tid sett att det är vanligare (skälvklart är det inte vanligare men vad jag ser iaf) att man ofta definierar funktioner genom integraler. Varför gör man detta? Vad är fördelarna och vad är nackdelarna? Uppenbarligen brukar det gå på andra sätt än med just integraler.

Det känns ju lite konstigt att definiera ln(x) på det sättet, om du förstår vad jag menar.

Mycket bra, så länge man vet att exponentialfunktionen är injektiv är resonemangen "urenkla". Men att "förstå" injektivitet kan ju vara en femma för sig.

Men jag tror att det inte går att ens ge en precis definition av a^x (för irrationella x) på gymnasienivå, där man faktiskt inte ens vet vad gränsvärden är. Om man ska börja handvifta lite så tycker jag det är bättre att utgå från manne1973:s definition, men ville ge en annan approach som (enligt mig) ger en mer explicit formel för a^x.


Jag tror grejen med exp är att man vill definiera den så att den uppfyller

a) exp'(x) = exp(x)
b) exp(0) = 1.

Ett sätt att "lösa" denna diffekvation är helt enkelt att göra substitutionen t = exp(x), varpå vi får

dx/dt = 1/t.

Tillsammans med begynnelsevillkoret b) så får man

x(t) = int[0 till t] 1/t dt.

och därmed alltså att exp(x) måste vara inversen till ovanstående funktion.

Definitionen av exp(x) genom dess potensserie kan också ses som ett sett att lösa diffekvationen a) med begynnelsevillkoret b). Du kanske känner till den allmänna metoden till hur man utifrån en (någorlunda snäll) diffekvation kan skriva ner lösningen som en potensserie. Om man gör det på a) och b) så får man just att exp(x) måste vara potensserien ifråga.

Hur motiverar man att denna definitionen är vettig? Jag är helt med på att den är vettig, men förstår du vad jag menar om jag säger att vi tar en omväg egentligen? För det kommer väl från taylorutveckling. Fast kan det kanske råkar vara samma om man går från andra hållet? Fan har svårt att formulera mig, men hoppas du förstår vad jag menar.

Hur utesluter man i sådana fall trunkeringsfel? Jag har bara använt trunkering som funktion i maple ett par ggr.

Hur ser man att exp(-x) = 1/exp(x)? Var tittar du och hur tänker du? Vilken ovanstående menar du?

Ja just det, riktigt snyggt. Känns som ett mycket bra sätt att definiera exponentialfunktionen som en summa av polynom.

Behöver man ens medelvärdessatsen? Isf varför? Vi vet då att exp(x) alltid är positiv och vi vet att derivatan är exp(x), eftersom den alltid är positiv är den strängt växande.

Hur vet vi att den är kontinuerlig då? För det måste den väl i sådana fall vara. Men vi vet att polynom alltid är kontinuerliga, då måste summor av polynom också vara det?

Yes, det köper jag.

Fan va bra, potens"lagarna" faller ut väldigt fort med allt som visats här, fan va nice. Största problemet är bara att jag verkligen inte kan säga varken nu eller bä om Cauchys funktionalekvation. Och när du säger den enda? Går det alltså inte att definiera det på något annat sätt för att få med (iv)?

Men jag får la acceptera att definitionen är vettig sålänge.

Svara gärna på alla frågor.

Tack på förhand.

Det känns som att algebran går väldigt fort här. dx/dt = 1/t förstår jag, men inte varför integrationsgränsen är från 0 till t egentligen. Jag kan ju förstå det om jag redan vet svaret och logaritmerar exp(0) = 1 osv, men då är det ju cirkelresonemang. Det känns som att intervallet bara flyger dit från ingenstans.

Nej tyvärr! Visa gärna!

Mycket bra faktiskt. Det känns som om man inte kan gå längre än såhär på gymnasiet, om ens såhär långt. Men då har man ju en förklaringsmodell i alla fall för de mkt intresserade eleverna. De förtjänar en lärare som kan svara på frågor som liksom ligger lite utanför randen av gymnasiematematiken.

Ansätt
[;\exp(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n;]
[;\Rightarrow \exp'(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty n\cdot a_nx^{n-1}=[\text{forsta termen = 0}]=\sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot a_nx^{n-1}=;]
[;= [n-1=k] = \sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)\cdot a_{k+1}x^k;]

--------------------------------------
Eftersom [;\exp(0)=1;] så gäller att [;a_0=1;]

--------------------------------------
Eftersom [;\exp(x) = \exp'(x);] så gäller att [;a_n = (n+1)a_{n+1};] (vi måste ha samma koefficienter framför [;x^n;] för att få en likhet)

[;\Leftrightarrow a_{n+1}=\frac{a_n}{n+1};]

--------------------------------------
[;\Rightarrow a_1 = \frac{a_0}{0+1} = \frac{1}{1} = 1;]
[;a_2 = \frac{a_1}{1+1} = \frac{1}{2} ;]
[;a_3 = \frac{a_2}{2+1} = \frac{1/2}{3}=\frac{1}{3!} ;]

o.s.v.

Ett motsägelsebevis kanske fungerar för att visa det du vill? Då syftar jag till den lite klurigare vägen, åt andra hållet är det ganska enkel geometri. Kan förenklas genom att man flyttar skärningspunkten mellan linjerna till origo.

Man kan nog också visa det trigonometriskt genom att dra en vågrät linje som korsar korsningen av dessa räta linjer.

Då kommer tangens av respektive linjes vinkel i förhållande till den vågräta linjen motsvara deras k-värden.

Alltså kommer k1*k2 = tan(u)*tan(v) = -1. Detta medför att u och v skiljer sig med 90 grader.

Det är väl där den här diffekvationen kommer in. Den motiveras som vettig eftersom den löser exp'(x) = exp(x). Se inlägget av stormsystem.


Det är väl inte så att man trunkerar och är nöjd med det, utan snarare så att man trunkerar, multiplicerar, men låter sedan antalet termer gå mot oändligheten. Lite mer specifikt:

Låt

[; a_n = \sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k!} ;]
[; b_n = \sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k!} ;]

Då gäller att a_n -> exp(x), och b_n -> exp(y) när n -> ∞. Om man också kan visa att a_n b_n -> exp(x+y), så kommer det följa att exp(x)exp(y) = exp(x+y), ty

exp(x+y) = lim (a_n b_n) = lim a_n * lim b_n = exp(x+y).


Med ovanstående menade jag Sats 1. Direkt från definitionen ser man att exp(0) = 1. Enligt Sats 1 är

exp(x)exp(-x) = exp(0)

dvs

exp(x)exp(-x) = 1.


Fast satsen att "om f' (alltid existerar och) är positiv så är f strängt växande" använder medelvärdessatsen för att bevisas.


Inte nödvändigtvis oändliga summor av polynom. Dock så vet vi ju redan (nåja, jag handviftade ett bevis) att exp(x) är deriverbar, så då är den kontinuerlig.


Jo. Det jobbiga med den här approachen är egentligen att definiera ln, ty då måste man kolla att exp är bijektiv. Själva potenslagarna bygger bara på att exp(x)exp(y) = exp(x+y), vilket är ett förhållandevis enkelt resultat.


Okej, enda definitionen kanske var lite dåligt formulerat. Det finns förstås andra sätt att definiera a^x. Det satsen säger är att alla definitioner, som uppfyller (i) - (iv), kommer ge samma svar för vad a^x är.


0 till t skrev jag fel på, utan integrationsgränsen ska vara 1 till t. Som manne skrev från början. Integrationsgränserna väljs för att begynnelsevillkoret ska uppfyllas. Jag menar, om man ändrar den nedre integrationsgränsen så ändras integralen bara med en konstant, så det att välja en specifik nedre integationsgräns är bara att välja en specifik primitiv funktion till 1/t. I det här fallet så säger begynnelsevillkoret att, om vi ser x som en funktion av t, att

x(1) = 0.

Vidare har vi diffekvationen

x'(t) = 1/t.

Den generellla lösningen till diffekvationen är

[; x(t) = \int_a^t \frac{dt}{t}\text. ;]

och vi väljer helt enkelt sedan a så att begynnelsevillkoret uppfylls.

Ja det kanske fungerar. Jag har inte hunnit (snarare valt att göra annat) titta på det än, men skall nog göra det efter att jag har läst och svarat på de flesta inlägg i denna tråd.

Presentera gärna en metod om du finner någon bra. Jag funderar om man kan använda bijektioner som argument. Men helst vill jag undvika det, det skall vara på så låg nivå som möjligt.