Matematiska frågor om lagar, satser och dess härledningar (Gymnasiet)

Det känns som man behöver motivera detta mer.

Ja absolut, om första påståendet motiveras mer.

För vi kan affint avbilda varje punkt till origo. Alla affina avbildningar är bijektiva.

Skitbra ju. Fast vi skulle inte använda linjär algebra!

Måste lära mig läsa

Mja, α + β = π/2 är ett vilkor. Eftersom π/2 + α + β = π/2 + α + (π/2 - α) = π och på samma sätt i den andra triangeln har vi vår likformighet. Åt andra hållet är det ännu mera trivialt.

Tycker nog areasatsen är bättre ändå. Tror inte många gymnasielever kommer köpa detta. Men visst är det skitbra!

En rektangel med sidorna a och b har, som vi alla vet, arean ab. Detta fick vi ju lära oss redan i låg- eller mellanstadiet. Formeln för rektangelarean är ju så "självklar", så att många bara tar den för given. Att en rektangel med sidorna a och b har arean ab är ju sant. Men att rektangeln har arean ab är faktiskt inte en definition, och inte ett axiom.

Arean hos en plan figur, tex en rektangel, definieras ju som ett reellt mätetal för den tvådimensionella utsträckningen. För att mäta arean hos en plan figur, och kunna uttrycka den som ett tal, så måste man ju utgå från någon referens. Man låter en kvadrat med sidan 1 längdenhet definiera areaenheten, dvs en kvadrat med sidan 1 längdenhet har (per definition) arean 1 areaenhet.

Arean hos en plan figur ges nu mening att uttryckas som ett mätetal (åtminstone i teorin, vissa plana figurer med tex kurviga och oregelbundna former kan ju ha en väldigt svårberäknad area, kanske omöjlig att beräkna exakt i vissa fall?). Den plana figurens tvådimensionella utsträckning ska nu jämföras mot areaenhetens tvådimensionella utsträckning. Genom att dela upp den plana figuren i massa olika bitar, så vill man i någon mening räkna hur många areaenheter (eller andelar av dessa) man kan fylla med dessa bitar.

Nu med detta sagt så förstår man att en godtycklig rektangel med sidorna a och b inte per definition har arean ab. Visserligen är ju dess area lika med ab, men inte per definition. Att rektangelarean har arean ab måste istället visas och härledas.

Om a och b är sidlängder som kan uttryckas som rationella tal, så är det ganska lätt att visa att rektangeln har arean ab.

Om a och b är rationella sidlängder till rektangeln, så innebär det att det finns positiva heltal p, q, r och s, sådana att a = p/q och b =r/s.

Eftersom p/q = (ps)/(qs) = ps*1/(qs) och r/s = (qr)/(qs) = qr*1/(qs) så kan vi mäta a och b med hjälp av det gemensamma måttet 1/(qs). a består till antalet av ps stycken enheter av längden 1/(qs), och b består till antalet av qr stycken enheter av sträckan 1/(qs).

Detta innebär att vår rektangel med sidorna a och b är helt uppfylld av ett visst antal kvadrater med sidan 1/(qs), nämligen (ps)*(qr) stycken av nämnda kvadrat.

För att mäta arean av kvadraten med sidan 1/(qs) så tar vi först reda på hur många kvadrater med sidan 1/(qs) som ryms inne i areaenheten (enhetskvadraten). Detta antal är givetvis (qs)*(qs) stycken. Detta innebär att vår kvadrat utgör 1/(qs)^2 av areaenheten.

Vår ursprungliga rektangel innehöll (ps)*(qr) stycken sådana kvadrater. Detta innebär att rektangelns area är (ps)*(qr)*1/(qs)^2 = (pr)/(qs) areaenheter.

Nu vet vi ju rektangelns area, den är (pr)/(qs). Produkten av sidorna är ab = (p/r)*(q/s) = (pq)/(rs). Vi ser att produkten av sidorna överensstämmer med den rektangelarea som vi härledde, dvs, nu har vi visat att: En rektangel med sidorna a och b, där a och b är kan uttryckas som rationella tal, har arean ab.

Men om vi nu betraktar en rektangel med godtyckliga sidor, då kan det ju tex råka vara så att en eller båda av sidorna är av irrationell längd. Tex en rektangel med sidorna pi och e. Den rektangeln har, som vi alla vet, arean pi*e. Men det är betydligt svårare att bevisa. För att härleda rektangelarean hos en rektangel med en eller två godtyckliga irrationella sidlängder, då måste man först ha djupa kunskaper om de reella talen.

Wow va coolt. Jag skulle säga att jag hänger med på allt. Det tog lite tid att läsa igenom vissa stycken men sedan trillade poletten ner.

Men bara för att man kan göra såhär betyder det inte att det är fel att se arean på en rektangel som ett axiom? Dock känns det ju mer grundligt att istället se arean av en kvadrat som en definition. Men så är areor axoimlösa isf? Varför är inte arean av en kvadrat med sidorna 1 ett axoim? Och varför är det en definition? Det hade ju lika gärna kunnat ha varit åt andra hållet eller är jag ute å cyklar nu?

Bara tänker rent allmänt alltså. Det känns som att många axiom lika gärna hade kunnat vara definitioner, hoppas du förstår vad jag menar.

Mvh

Det råder ofta en begreppsförvirring kring ordet "axiom". Det är lite "luddigt". I matematisk litteratur inom inledande universitetskurser kan man stöta på meningar som tex "Detta kan vi betrakta som ett axiom för de reella talen". Den meningen betyder oftast "Du saknar djupa kunskaper om de reella talen. De kunskaperna skulle du behöva för att kunna förstå beviset. Dessutom vill jag inte krångla till texten för mycket, och göra den svåröverskådlig. För studenterna bör i första hand koncentrera sig på alla de definitioner och satser som ingår i denna kurs. Därför får de istället betrakta detta som ett axiom för de reella talen, för de förstår ändå inte beviset".

Men om nu "axiomet" bevisas inom teorin för de reella talen, då borde just det axiomet inte vara något axiom för de reella talen. Då borde det istället vara en sats. Vitsen med axiomsystemets oavhängighetskrav är ju att rensa ut "icke-nödvändiga" axiom. Utan oavhängighetskravet så skulle ju varenda sats som bevisas inom teorin, kunna benämnas "axiom". Och det skulle ju vara ganska knasigt. Men just oavhängighetskravet är ju axiomsystemets minst viktiga krav. För om axiomsystemet skulle innehålla icke-nödvändiga axiom, så förstör ju inte detta axiomsystemet. Däremot ser det ju inte snyggt ut.

Resonemanget ovan torde bringa klarhet i frågan om rektangelarean. Formeln för rektangelarean är ju en sats. I fallet där rektangelns sidor, a och b, är godtyckliga "rationella längder", så bevisades ju den satsen i mitt förra inlägg. Mina kunskaper om de reella talen är dock, än så länge i alla fall, för begränsade för att jag ska kunna bevisa formeln för rektangelns area i det allmänna fallet, där a och b är godtyckliga "reella längder".

Som jag skrev i mitt förra inlägg, och som jag ytterligare förklarade i detta inlägg:
Att en rektangel med sidorna a och b har arean ab, är ju sant, men det är inte en definition, och det är inte ett axiom.

"Areor" är ju definierade som reella mätetal till olika geometriska figurers utsträckning. På så sätt har det ju en koppling till både det aritmetiska axiomsystemet samt det geometriska axiomsystemet.

De olika begreppen och objekten som ett axiom kan uttala sig om, de måste ju vara definierade. Annars vet man ju inte vad axiomet säger. Betrakta följande utsaga: "En kvadrat med sidan 1 längdenhet har arean 1 areaenhet". För att kunna tolka och förstå den utsagan så krävs det ju att man förstår alla ord, tex "areaenhet". Allt måste vara definierat. Och definitionen av areaenheten (enhetskvadraten) är just: En kvadrat med sidan 1 längdenhet. Alltså är (per definition) arean lika med 1 hos kvadraten med sidan 1. Detta eftersom nämnda kvadrat uppfyller exakt 1 areaenhet.

Ooops. Från mitt första inlägg i denna tråd så såg jag nu att jag råkade skifta plats på q och r på ett ställe, vilket ledde till tokigheter (det fetstilta). Eller också var det självaste Ers Majestät Konungen som hackade mitt konto. Kungen brukar ju kunna kasta om bokstäver lite här och var.

Så här ska det stå: