Delare (talteori?)

Har en uppgift jag inte riktigt lyckas lösa.. den ser ut så här:

a = 2^2 * 3^4 * 5^3 * 7^5 * 11^3 * 13^1
b = 3^2 * 5^9 * 7^3 * 11^2 * 13^4 * 17^1
c = 2^1 * 3^3 * 5^5 * 7^4 * 11 * 17^2

Hur många positiva heltal delar a och b men inte c?

Lite hjälp på vägen:

Säg istället att

a = 2^2 * 3^2 * 5,
b = 3^2 * 5 * 7.

Låt x dela a och b. Vad vet vi om primtalsutvecklingen av x? Endast primtal som delar både a och b får dyka upp i x:s utveckling, så

x = 2^p * 3^q * 5^r,

för några heltaltal p, q, r >= 0. Nu finns det andra inskränkningar på p, q, r. T.ex. delar inte x = 2^50 * 3^0 * 5^0 både a och b. Tänk ut vilka inskränkningar du måste du göra på p, q, r.

Har löst t.ex. följande: hur många pos. heltal delar a och b?
Jo eftersom sgd(a, b) = 3^2 * 5^3 * 7^3 * 11^2 * 13 och eftersom alla termerna till synes är primtal så har a och b 3*4*4*3*2 olika gemensamma delare (vi kan ha 3^0, 3^1 eller 3^2, 5^0, 5^1, 5^2, 5^3 osv... ger svaret med permutering).

Men kan inte implementera samma sak på ovanstående.. funderar på om jag ska köra med inklusion men då blir det fasansfullt stora tal.

Ditt svar förstod jag inte riktigt.

sgd(a,b) är 3^2*5^3*7^3*11^2*13
för att ett tal m inte ska dela c måste varje exponent på varje primtalsfaktor i m vara större än motsvarande exponent i faktoriseringen av c. För 3,5 och 7 är exponenten begränsad av 2,3,3 om m ska dela a och b (se sgd(a,b)). Således för att m inte ska dela c och samtidigt dela a och b måste 11^2 och eller 13 vara en faktor.
fortsättning:

Enligt facit är svaret 192 olika tal.

Nej, det räcker att en av exponenterna är större.

Ja, det var det jag menade

Ja, jag har räknat som en idiot . För det första har jag multiplicerat fel, sen så har jag glömt att ta med exponenten 0. För tex primtalsfaktorn 3 kan exponenten variera av 0,1,2,3, dvs 4 olika tal, inte 3. Man får alltså om m innehåller:
11^2 faktor men ej 13 ger 3*4*4=48 olika tal
13 faktor men ej 11^2 ger 3*4*4*2=96 olika tal
11^2 och 13 (inte 13^2 som jag felaktigt skrev innan) faktorer ger 3*4*4=48 olika tal
vilket ger totalt 192

Delarna till sgd(a, b) kommer vara de tal som både delar a och b, på samma sätt kommer delarna till sgd(c, sgd(a, b)) vara de tal som delar alla tre talen a, b och c.

sgd(a, b) = 3²·5³·7³·11²·13
sgd(c, sgd(a, b)) = 3²·5³·7³·11

Det finns alltså 3·4·4·3·2 tal som delar a och b, av dessa är det även 3·4·4·2 tal som delar c.

Alltså är det 3·4·4·3·2 - 3·4·4·2 = 3·4·4·2(3 - 1) = 3·4³ = 192 st tal som delar a och b men inte c.

Grymt förklarat.. tack!