*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Ta kryssprodukten i Gauss sats

Uppg: http://www.bilddump.se/bilder/20210106151627-2.248.57.168.png
Min lösning: http://www.bilddump.se/bilder/20210106151657-2.248.57.168.jpeg

Jag antar att problemet ligger hos min paramtisering ,för det ser inte klokt ut.

Mja, det var så lösningsförslaget gjorde också, men hade hoppats på lösa det mha paramatisering. Men för intresset skull, hur skulle man paramatisera en rät linje sådär?

(x,y)=A+t(B-A), eller hur? min räta linje var y=1/3x+1 hmm.. ne fastnar

Parameterisering blir \(\bigl(x(t),y(t)\bigr)=(t,1+t/3)\), \(-3\le t\le 0\).
Men du får ett rationellt uttryck med trigonometrisk täljare och kvadratisk nämnare. Inte det roligaste att hantera. Det går, men det är mycket räkningar.

Jag gissar att lösningsförslaget går något i stil med:

Vi har att
\[
\left\{
\begin{aligned}
P(x,y)&=\frac{\pi\cos(\pi x)}{x^2+y^2}-\frac{2x\sin(\pi x)}{(x^2+y^2)^2}+y+B\\
Q(x,y)&=-\frac{2y\sin(\pi x)}{(x^2+y^2)^2}+x
\end{aligned}
\right.
\]
Notera att
\begin{align*}
P(x,y)
&
=\frac{\pi\cos(\pi x)}{x^2+y^2}-\frac{2x\sin(\pi x)}{(x^2+y^2)^2}+y+B
=\frac{\pi\cos(\pi x)(x^2+y^2)-\sin(\pi x)\cdot2x}{(x^2+y^2)^2}+y+B
\\&
=\frac{D_x[\sin(\pi x)](x^2+y^2)-\sin(\pi x)\cdot D_x[x^2+y^2]}{(x^2+y^2)^2}+D_x[(y+B)x+h(y)]
\\&
=D_x\Bigl[\frac{\sin(\pi x)}{x^2+y^2}\Bigr]+D_x[(y+B)x+h(y)]
=D_x\Bigl[\frac{\sin(\pi x)}{x^2+y^2}+(y+B)x+h(y)\Bigr]
\end{align*}
varför
\[
U(x,y)=\frac{\sin(\pi x)}{x^2+y^2}+(y+B)x+h(y).
\]
Då
\[
D_y[U(x,y)]
=D_y\Bigl[\frac{\sin(\pi x)}{x^2+y^2}+(y+B)x+h(y)\Bigr]
=-\frac{\sin(\pi x)}{(x^2+y^2)^2}\cdot2y+x+h'(y)
\]
har vi, om \(D_y[U(x,y)]=Q(x,y)\), att
\[
h'(y)=0
\quad\Leftrightarrow\quad
h(y)=C
\]
där \(C\) är en konstant och vi har att
\[
U(x,y)=\frac{\sin(\pi x)}{x^2+y^2}+(y+B)x+C.
\]
Det sökta värdet är
\[
U(-3,0)-U(0,1)
=
\frac{\sin(\pi(-3))}{(-3)^2+0^2}+(0+B)(-3)+C
-
\Bigl(\frac{\sin(\pi\cdot0)}{0^2+1^2}+(1+B)\cdot0+ C\Bigr)
=
-3B.
\]

ja det såg inte så supertrevligt ut, men gällande paramatiseringen, försöker verkligen tänka där, i det förra fallet när vi hade bara linjen x=2, då fick vi ju paramatiseringen (2,t)

bara för att lära mig, om vi hade en linje som var y=B så hade vi haft paramatiseringen (t,B) eller hur?
och om vi hade Ay=Bx+M så hade vi då haft paramatiseringen (t,A+t/B)
eller, kan man ställa upp ett uttryck så?

Försök få y "ensamt"

Ay=Bx+M
y=Bx/A+M/A

Sätt sedan x=t
Då blir y=Bt/A+M/A
och du har (x,y)=(t,Bt/A+M/A), t ∈ [a,b]

Sedan kan du även välja x=At
Då blir y=Bt+M/A
men t's definitionsintervall blir då olikt det tidigare, det blir här t ∈ [a/A,b/A]

Tror jag är med nu tack!

En annan fråga, är det bara för att vi får dQ/dx = dP/dy (med andra ord att den är oberoende av vägen) om man ba helt enkelt kan stoppa in U(slutpunkt) - U(startpunkt) ? (eller tvärtom?)

"U-U" är en variant av analysens huvudsats.

När vägen är ointressant kan vi välja en lätt väg, men det har ej att göra med "U-U".
Är vägen ej ointressant måste vi slaviskt följa den i parameteriseringen.

Hade vi alltid vetat U så är vägen helt ointressant, lätt som svår väg.

Hmm. men en annan fråga, när man integrerar sedan, för att hitta U(x,y) varför är konstanten C ointressant? se tex denna uppg: http://www.bilddump.se/bilder/20210106175959-2.248.57.168.png och lösning: http://www.bilddump.se/bilder/20210106180013-2.248.57.168.png

Därför om vi har ett "fullständigt" U, inkl. konstant C, t.ex.

U(x,y) = f(x,y) + C

där f ej innehåller någon konstant och vi vill slutligen beräkna differensen

U(a,b) - U(c,d)
= ( f(a,b) + C ) - ( f(c,d) + C )
= f(a,b) + C - f(c,d) - C
= f(a,b) - f(c,d)

ser vi att konstantens värde ointressant och kan sättas till 0.

Se min lösning på ett tidigare problem idag, där jag tog med C för fullständighetens skull. Det C:et fallet bort i den sökta differensen. Man hade kunnat sätta C=0 och fått samma svar.

Du tillämpar samma sak vid integrering i en variabel där man säger
\[
\int_a^b\! f(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a)
\]
men man hade lika gärna kunnat addera valfri konstant i \(F\).

Samma sak i partialintegration, där man väljer konstanten 0. Ibland är det dock listigare att addera en lämplig konstant för att få efterföljande integral enklare.

Svarade mig själv. SENIL!

hehe :P

Tack! coolt!