*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Ursäkta dubbelpost, upptäckte ett räknefel så ja, matrisen är symmetrisk.

Du säger direkt att f^(21)=-x^21/10!, men är det sant? Du måste derivera f(x) 21 gånger. Vad händer med x^21 då?

För en symmetrisk matris (med reella element) gäller att

1. egenvärdena är reella
2. egenvektorerna är ortogonala

– Bör stå nånstans i kursboken.

Juste, tack!

Maclaurinutvecklingen av \(f(x)=x\cos(x^2)\) ges av
\[
f(x)
=x\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{(2i)!}(x^2)^{2i}
=\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{(2i)!}x^{4i+1}.
\]
Koefficienten för \(x^{21}\), d.v.s. när \(i=5\), är \(f^{(21)}(0)/21!\) då
\[
f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k
\]
vilket ger, eftersom Maclaurinutvecklingen är entydig, att
\[
\frac{f^{(21)}(0)}{21!}=\frac{(-1)^5}{10!}
\quad\Leftrightarrow\quad
f^{(21)}(0)=-\frac{21!}{10!}.
\]

Tack så mycket. Jag testar med en följdfråga då jag suttit fast på ett steg ett tag, sen behöver du givetvis inte svara om du ej känner för det. Är en chansning från min sida.
Jag får fram tre st vektorer och ska avgöra om de tillhör värderummet eller nollrummet.
Jag kan se att två av vektorerna tillhör V(F) då de i normalekvationen blir = 0.
Den andra vektorn jag får som vi kan kalla f1 blir: (1/7) * (1 7 -7) och normalekvationen är x_1 + 7*x_2 - 7*x_3=0.
Här hade jag velat dra slutsatsen att vektorn f1 är samma som normalekvationen och är således N(F). Det som gör mig osäker dock är att jag på vektorn f1 har bråket 1/7 som jag inte har multiplicerat in i vektorn och därför så kanske min idé faller. Det jag inte lyckats lista ut i så fall är varför det inte skulle fungera att göra på detta sätt.

Tack på förhand.

Vad menas med normalekvation i det här sammanhanget?

Den som fås av planet.

En vektor är inte en ekvation, vektorn f1 är parallell med planets normal. En vektor är heller inte ett delrum, eftersom vektorn f1 är parallell med planets normal så ligger den i kärnan av projektion på planet.

Egenvektorer hörande till olika egenvärden är ortogonala.

Ja!

Bestäm värdet på konstanten a så att vektorerna u=(-1,1,2) och v=(a,-5,2a) blir ortogonala. Bestäm en positivt orienterad ortonormerad bas e1,e2,e3 sådan att e1 är parallell med u och e2 är parallell med v.

Bestämma a är inga problem men vet inte hur jag gör med resten av uppgiften.